$AB \  \  || \ \ CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda, $E$ noktası $D$ ile $F$ arasında olacak şekilde $[CD]$ üzerinde alınan $E$ ve $F$ noktaları için, $m(\widehat{DAF})=m(\widehat{BAF})=45^{\circ}$, $m(\widehat{CBE})=m(\widehat{ABE})=60^{\circ}$, $|DE|=3$, $|CF|=4$ ise $|AB|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2+4\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 3+3\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 5+\sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ 4+2\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$3^{p^3}+5^{p^5}+7^{p^7}+11^{p^{11}}$ toplamının $p$ ile tam bölünmesini sağlayan kaç $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

Her $n\geq 2$ pozitif tam sayısı için $n$'den büyük olmayan en büyük asal sayı $f(n)$, $n$'den büyük olan en küçük asal sayı $g(n)$ olsun. $$\dfrac{1}{f(2)g(2)} + \dfrac{1}{f(3)g(3)} + \cdots + \dfrac{1}{f(112)g(112)}$$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{109}{222}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{111}{226}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{110}{113}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{113}{1224}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{55}{111}$

$100$ öğrencinin katıldığı bir yaz okulunda en fazla $4$ arkadaşı olan öğrencilere utangaç diyelim. Her öğrencinin en az $4$ tane utangaç arkadaşı varsa, utangaç öğrenci sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 8$

İç teğet çemberinin merkezi $I$ olan bir $ABC$ üçgeninde, $IBC$ üçgeninin çevrel çemberine $I$ noktasında teğet olan doğrunun $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarıyla kesişimlerine sırasıyla $M$ ve $N$ diyelim. $|BC|=225$, $|BM|=64$ ve $|CN|=81$ ise $|IB|+|IC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 250  \qquad\textbf{b)}\ 260  \qquad\textbf{c)}\ 270  \qquad\textbf{d)}\ 280  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$n$ bir pozitif tam sayı ve $a,b,c,d$ pozitif tek tam sayılar olmak üzere, $a^2+b^2+c^2+d^2=11 \cdot 4^n$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b,c,d,n)$ beşlisi vardır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 20$

$x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları $x^2+xy=1$ şartını sağlıyorsa, $61x+25y$ en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 40  \qquad\textbf{b)}\ 50  \qquad\textbf{c)}\ 60  \qquad\textbf{d)}\ 70  \qquad\textbf{e)}\ 80$

Bir tahtaya $5,10,15,20,25,30,35,40$ sayıları yazılmıştır. $k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her işlemde tahtadaki sayılardan $k$ tanesi seçiliyor ve seçilmiş sayı $1$ azaltılıyor. Birkaç işlem sonucunda tahtadaki tüm sayıları $0$ yapmak mümkünse $k$'ye uygun sayı diyelim. $1,2,3,4,5,6,7,8$ sayılarından kaç tanesi uygun sayıdır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

$|AB|<|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $\hat{A}$ açısının iç açıortayının $[BC]$ kenarı ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberiyle ikinci kesişim noktasına sırasıyla $D$ ve $E$ diyelim. $E$ noktasından $BC$ doğrusuna inen dikmenin $BC$ ve $AB$ doğruları ile kesişimi sırasıyla $F$ ve $G$ olsun. $D$ noktasından $AC$ ve $GC$ doğrularına inen dikme ayakları sırasıyla $K$ ve $L$ olmak üzere, $|DK|=3$ ve $|DL|=11$ ise $\dfrac{|DF|}{|FC|}$ oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3}{11}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac47  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac37  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{4}{11}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{8}$

$k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $k$'nin pozitif tam bölenlerinin sayısını $d(k)$ ile gösterelim. $d(n^3)=2 \cdot d(n^2)$ ve $1 \leq n \leq 2024$ koşullarını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 11$

$\{3x\} + \{4x\} + \{5x\} =\{x\} +2$ denkleminin kaç tane $0<x<1$ çözümü vardır?  ($x$ gerçel sayısı için $x$'ten, $x$'i aşmayan en büyük tam sayının çıkarılmasıyla elde edilen sayı $\{x\}$ ile gösterilir. Örneğin, $\{20,24\} = 0,24$ ve $\{32\}=0$.)

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$5 \times 5$ bir satranç tahtasının $5$ birim karesine birer bilye yerleştirilecektir. Bu yerleştirme, herhangi bir satır ile herhangi bir sütunun birleşiminde en az bir bilye bulunması koşuluyla kaç farklı şekilde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 5760  \qquad\textbf{b)}\ 5870  \qquad\textbf{c)}\ 5940  \qquad\textbf{d)}\ 6050  \qquad\textbf{e)}\ 6130$

$|AB|=50$, $|AC|=78$, $|BC|=112$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarının üzerinde $\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac59$ şartını sağlayan bir $D$ noktası alınıyor. $ABD$ üçgeninin çevrel merkezi ile $ACD$ üçgeninin ağırlık merkezi arasındaki uzaklık nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt{1961}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{1993}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{2001}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{2024}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$N$ pozitif tam sayısının $1$ dışındaki en küçük tek pozitif böleni $d$, en büyük tek pozitif böleni ise $D$ olsun. $N=15D+11d$ olmasını sağlayan $N$ pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4576  \qquad\textbf{b)}\ 4928  \qquad\textbf{c)}\ 5280  \qquad\textbf{d)}\ 5632  \qquad\textbf{e)}\ 5984$

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $(x^2+1)(y^2+1)+129=12xy+18(x+y)$ ise $xy$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 7$

Bir dik koordinat düzleminde, $0 \leq x \leq 9$ ve $0 \leq y \leq 9$ koşullarını sağlayan tam sayı koordinatlı $(x,y)$ noktalarının $N$ tanesi boyanmıştır. Üç köşesi de boyalı olan bir dik üçgen bulunmuyorsa $N$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 16  \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 20  \qquad\textbf{d)}\ 22  \qquad\textbf{e)}\ 26$

$m(\widehat{BAC})=100^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninde çevrel merkez $O$ noktası olup, $A$ noktasının $BC$ doğrusuna göre yansıması $D$ olsun. $BD \cap OC =\{ S \}$ ve $CD \cap OB = \{R \}$ ise $m(\widehat{RAS})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 30^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 45^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 60^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 75^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$n^2+1$'in $269$ ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$r$ bir gerçel sayı olmak üzere, $5x^4-8x^3+rx^2-11x+10=0$ denkleminin gerçel köklerinin çarpımı $1$ ise gerçel köklerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac65  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac45  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac35  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Sekiz tane $1$ ve sekiz tane $0$,  $4 \times 4$ bir satranç tahtasının birim karelerine her bir birim karede bir sayı bulunacak şekilde yerleştirilecektir. Bu işlem, her bir satırdaki sayıların toplamı çift ve her bir sütundaki sayıların toplamı tek olacak şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 216  \qquad\textbf{b)}\ 240  \qquad\textbf{c)}\ 252  \qquad\textbf{d)}\ 288  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir $ABCD$ dikdörtgeninin $[CD]$ kenarı üzerinde alınan bir $E$ noktası $|AE|=|CD|$ eşitliğini sağlamaktadır. $AE \cap BC = \{ F \}$ olmak üzere, $ECFG$ bir dikdörtgen olacak şekilde bir $G$ noktası alınıyor. $DF \cap AG = \{ K \}$ olmak üzere, $m(\widehat{AKE})=45^{\circ}$ ve $m(\widehat{KAE})=25^{\circ}$ ise $m(\widehat{EAB})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 20^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 30^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 40^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 45^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$2^{22!}-1$ sayısını bölmeyen en küçük tek pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 13  \qquad\textbf{e)}\ 15$

$x,y,z,a$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $xyz=a$ şartını sağlayan tüm $(x,y,z)$ üçlüleri için $x^2+2y^2+4z^2-6xyz$ sayısının alabileceği en küçük değere $f(a)$ diyelim. $f(a)$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{11}{12}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac89  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt[3]{3}$

Başlangıçta bir doğru üzerinde farklı ağırlıklı $n$ top soldan sağa hafiften ağıra doğru sıralanmıştır. Her işlemde aralarında $2$ veya $5$ top olan iki top birbirleriyle yer değiştiriliyor. $n=2022,2023,2024,2025$ değerlerinin kaçı için birkaç işlem sonucunda toplar soldan sağa ağırdan hafife doğru dizilebilir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

Çeşitkenar bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarının orta noktası $M$ olmak üzere, $AC$ doğrusuna $C$ noktasında dik olan doğrunun $MA$ doğrusu ile kesişimi $N$ olsun. $BMN$ üçgeninin çevrel çemberi $AB$ doğrusuna $B$ noktasında teğet ise $\dfrac{|AB|}{|MA|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt5$

$n \leq 2024$ bir pozitif tam sayı olmak üzere; $\{ kn  \  : \ \  k \in \mathbb Z, \ 1 \leq k \leq 2024 \}$ kümesinde tam olarak $9$ tane tam kare bulunmasını sağlayan $n$ sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 18240  \qquad\textbf{b)}\ 18810  \qquad\textbf{c)}\ 19380  \qquad\textbf{d)}\ 19950  \qquad\textbf{e)}\ 20520$

Birbirinden farklı $x,y,z$ gerçel sayıları,
$$\begin{array}{lcl}
x^2+y^2 &=&  9x+7y+6z \\
y^2+z^2 &=&  7x+7y+8z \\
z^2+x^2 &=&  6x+8y+8z
\end{array}$$
eşitliklerini sağlıyorsa $\dfrac{15x^2+4y^2}{z^2}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$(x_1,...,x_{32})$ $32$-lisi $(1,2,...,32)$'nin bir permütasyonu olmak üzere, her $i=1,...,32$ için $y_i= \max \{x_1,x_2,...,x_i \}$ olsun. Tam olarak $2$ tane $i$ indisi için $y_i=x_i$ olmasını sağlayan $(x_1,x_2,...,x_{32})$ permütasyonlarının sayısının $29$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 27$

$|AB| > |AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $\hat A$ açısına ait dış açıortayın $BC$ ile kesişimi $D$ olsun. $|BC|=24\sqrt2$, $|AB|=35$ ve $m(\widehat{ADC})=45^{\circ}$ ise $ABC$ üçgeninin alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 60  \qquad\textbf{b)}\ 70  \qquad\textbf{c)}\ 72  \qquad\textbf{d)}\ 84  \qquad\textbf{e)}\ 98$

Pozitif tam bölenlerinin ortancası (medyanı) $63$ olan en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır? (Bir veri grubunun ortancası, veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında veri sayısı tekse en ortadaki sayıya, çiftse en ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına eşittir.)

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ 22$

Bir $\{a_n\}_{n \geq 1}$ dizisi, $a_1=2$ ve her $n \geq 1$ tam sayısı için
$$\left( a_{n+1}-\dfrac{3a_n+1}{a_n+3} \right) \left( a_{n+1}-\dfrac{5a_n+1}{a_n+5} \right)=0$$
şartını sağlamaktadır. Buna göre, $a_{2024}$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 2024  \qquad\textbf{b)}\ 2024^2  \qquad\textbf{c)}\ 2^{2023}  \qquad\textbf{d)}\ 2^{2024}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

İlk hamleyi Aslı yapmak üzere, Aslı ve Zehra sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Hamleler yapılmadan önce Zehra $1,2,...,200$ sayılarıyla numaralanmış bilyeleri istediği bir sırayla bir doğru üzerine diziyor. Sırası gelen oyuncu bu bilye dizisinin en solunda ve en sağında bulunan iki bilyeden birini alıyor. Zehra, yüzüncü bilyesini aldığında elindeki en büyük ve en küçük numaralı bilyelerin numaraları farkının en fazla $N$ olmasını garantileyebiliyorsa $N$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 99  \qquad\textbf{b)}\ 112  \qquad\textbf{c)}\ 125  \qquad\textbf{d)}\ 149  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$