Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 29

[matematikolimpiyati]

$|AB| > |AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $\hat A$ açısına ait dış açıortayın $BC$ ile kesişimi $D$ olsun. $|BC|=24\sqrt2$, $|AB|=35$ ve $m(\widehat{ADC})=45^{\circ}$ ise $ABC$ üçgeninin alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 60  \qquad\textbf{b)}\ 70  \qquad\textbf{c)}\ 72  \qquad\textbf{d)}\ 84  \qquad\textbf{e)}\ 98$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{D}$

$K$ noktası $AB$ doğrusu üzerinde $A$'ya göre $B$ ile farklı tarafta bir nokta olmak üzere $\angle{KAD}=\angle{DAC}=\alpha$ olsun. $ABC$ üçgeninde sinüs teoreminden $\frac{\sin{2\alpha}}{\sin{(\alpha+45)}}=\frac{24\sqrt{2}}{35}$ olur. $\sin{(\alpha+45)}=\frac{\sin{\alpha}+\cos{\alpha}}{\sqrt{2}}$ ve $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ olduğundan $\frac{12}{35}=\frac{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}+\cos{\alpha}}$ elde edilir. Buradan $12^2\cdot{(1+2\sin{\alpha}\cos{\alpha})}=35^2\cdot({\sin{\alpha}\cos{\alpha}})^2$ elde edilir. $\sin{\alpha}\cos{\alpha}=x$ olmak üzere $35^2x^2-288x-144=0$ ikinci dereceden denklemi elde edilir. Buradan $x=\frac{288+\sqrt{144\cdot(24^2+70^2)}}{35^2\cdot2}=\frac{288+74\cdot12}{35^2\cdot2}=\frac{12\cdot98}{35^2\cdot2}=\frac{24}{50}$ olur (Negatif kök, $\sin{\alpha}\cdot\cos{\alpha}>0$  olduğundan alınamaz.) $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ olduğundan $\sin{2\alpha}=\frac{24}{25}$ ve $\tan{2\alpha} = \frac{-24}{7}$ olur.($2\alpha>90$ olduğundan tanjant negatif olmalıdır). Tanjant yarım açı formülü kullanılırsa $\tan{\alpha}=\frac{4}{3}$ olur. (Diğer değer için $\alpha>90^\circ$ olur. Çelişki.) Buradan $\sin{\alpha}=\frac{4}{5}$ , $\cos{\alpha}=\frac{3}{5}$ ve $\sin{(\alpha-45)} = \frac{\sin{\alpha}-\cos{\alpha}}{\sqrt2}=\frac{1}{5\sqrt2}$ elde edilir. Sinüslü alan formülunden alan $A = \frac{35\cdot24\sqrt2\cdot\sin{(\alpha-45)}}{2}=84$ olur.

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$\triangle ABC$ de $\angle A$ ya ait iç açıortay $AN$ olsun. $\angle NAD = 90^\circ$ ve $\angle AND = 45^\circ$ olacaktır.
$\triangle NAD$ de $AH$ yükseklik olsun. $\angle NAH = 45^\circ$ dir.
$\angle BAN = \angle NAC = \alpha$ dersek $\angle ABH = 45^\circ - \alpha$ ve $\angle CAH = 45^\circ - \alpha$ olacaktır. O halde $CH \cdot BH = AH^2$ dir.

$CH = x$ dersek $AH^2 = x(24\sqrt 2 + x)$ ve Pisagordan $AB^2 = AH^2 + BH^2 \Longrightarrow 35^2 = x(24\sqrt 2 + x) + (x+24\sqrt 2)^2 = 2x^2 + 72x\sqrt 2 + 2\cdot 24^2 $ $\Longrightarrow 2x^2 + 72x\sqrt 2 - 73 = 0$ denklemini elde ederiz.

$y = x\sqrt 2$ şeklinde değişken değiştirirsek $y^2 + 72y - 73 = 0 \Longrightarrow y = 1$ ve $x = \dfrac {1}{\sqrt 2}$ olur.

$AH^2 = x(24\sqrt 2 + x) = \dfrac {1}{\sqrt 2}\left ( 24\sqrt 2 + \dfrac {1}{\sqrt 2} \right ) = \dfrac {49}{2} \Longrightarrow AH = \dfrac {7}{\sqrt 2}$ ve $\text{Alan}(ABC) = \dfrac {BC\cdot AH}{2} = \dfrac {24\sqrt 2 \cdot \dfrac {7}{\sqrt 2}}{2} = 12\cdot 7 = 84$.

[alpercay]

(Resmi Çözüm) $C$ den $AB$ ye çizilen paralelin $AD$ ile kesişimi $E$, $C$ den $AD$ ye inilen dikme ayağı $H$ olsun. $|AC|=x,|CH|=y,|AH|=t$ diyelim. Açıkça $|HE|=t, |ED|=y-t,  |CD|=y\sqrt{2},  |CE|=x$ olur. Paralellikten $y/24=(y-t)/2t$   ve  $x/35=(y-t)/(y+t)$ bulunur. Düzenlersek $t=12y/(y+12)$  ve $x=35y/(y+24)$ olur. Pisagor teoreminden $$(\dfrac{35y}{y+24})^2=y^2+(\dfrac{12y}{y+12})^2$$  olup $y=4$ bulunur. Yerine koyarsak $t=3$ olup $|AD|=y+t=7$ olur. Dolayısıyla $A$ noktasından $BC$ ye  inilen yükseklik uzunluğu $\dfrac{7}{\sqrt{2}}$ olup $\text{Alan}(\triangle{ABC})=\dfrac{24\sqrt{2}.7}{2\sqrt{2}}=84$ birim kare bulunur.