Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 23

[matematikolimpiyati]

$x,y,z,a$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $xyz=a$ şartını sağlayan tüm $(x,y,z)$ üçlüleri için $x^2+2y^2+4z^2-6xyz$ sayısının alabileceği en küçük değere $f(a)$ diyelim. $f(a)$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{11}{12}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac89  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt[3]{3}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden $$x^2+2y^2+4z^2-6xyz\geq 3\sqrt[3]{8x^2y^2z^2}-6xyz=6a^{2/3}-6a$$ olacaktır. Eşitlik durumu ise $(x,y,z)=(a^{1/3}\sqrt{2},a^{1/3},a^{1/3}/\sqrt{2})$'dir. Sonuç olarak $f(a)=6a^{2/3}-6a$'dır. İşlem kolaylığı için $a=k^3$ diyelim. Bu durumda $f(a)=g(k)=6k^2-6k^3$ olacaktır. $g'(k)=12k-18k^2$ olduğundan maksimum değer ya sınırlarda $0$ veya $\infty$, ya da $g'(k)=0$ yapan $k=\frac{2}{3}$'de alır. Maksimum değerini sınırlarda alması zaten soruyu hatalı hale getirecektir ama yine de incelenirse maksimum değeri oralarda almadığı görülebilir. Sonuç olarak $$\max_{a>0} f(a)=\max_{k>0} g(k)=g\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{9}$$ bulunur. Eşitlik durumu $a=\frac{2}{3^{2/3}}$ olacaktır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Aritmetik-Geometrik ortalama uygulanıp $a=k^3$ verildikten sonra elde ettiğimiz ifadenin maksimum değerini bulmada alternatif bir yol ise
$$6k^2\left(1-k\right)=3.k.k.\left(2-2k\right)\overbrace{\leq}^{AGO} 3\left(\dfrac{k+k+2-2k}{3}\right)^3=3\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{9}$$
olarak yine AGO ile elde edilebilirdi.

[alpercay]

(Resmi çözüm) $a=b^3$ diyelim. AGO'dan dolayı $x^2+2y^2+4z^2\ge 6\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=6b^2$ olur. Dolayısıyla sorudaki ifadenin en küçük değeri $b$ cinsinden $6b^2-6b^3$ olur ve bu da $x=b\sqrt{2},y=b,z=\dfrac{b}{\sqrt{2}}$ iken sağlanır. Şimdi bunun alabileceği en büyük değeri bulalım. $b\gt 1$ iken ifade negatiftir. $0<b\le 1$ iken AGO'dan dolayı $$1=\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+1-b\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{b^2(1-b)}{4}}$$ olur ve  $b^2(1-b)\le \dfrac{4}{27}$ bulunur. dolayısıyla $f(a)=f(b^3)$ en fazla $\dfrac{24}{27}=\dfrac{8}{9}$ olabilir.