Cevap: $\boxed{B}$
$n$ sayısını bölen en büyük tamkare $a^2$ olsun. O halde $b$ karebölensiz olacak şekilde $n=a^2b$ olarak yazılabilir. Eğer $k$'yı da benzer şekilde $k=u^2v$ olarak yazarsak, $nk$'nın tamkare olması için $bv$'nin tamkare olması gerekir. Ancak ikisi de karebölensiz olduğundan bunun tek yolu $b=v$ olmasıdır. Dolayısıyla, $1\leq k\leq 2024$ sayılarından tam olarak $9$ tanesinin karebölensiz bölümünün $b$ olmasını istiyoruz. Başka bir deyişle, $$1\leq k=u^2b\leq 2024\implies \frac{1}{b}\leq u^2\leq \frac{2024}{b}$$ $$1\leq u^2\leq \frac{2024}{b}$$ olacak şekilde tam olarak $9$ tane $u$ olmasını istiyoruz. Dolayısıyla, $$9^2\leq \frac{2024}{b}<10^2\implies 21\leq b\leq 24$$ elde edilir. $b=21,22,23$ olabilir. Her biri için $n=a^2b\leq 2024$ olmasını sağlayan $a$ değerleri $1,2,3,\dots,9$'dur. Dolayısıyla bu $27$ sayının toplamı $$21(1^2+2^2+\cdots+9^2)+22(1^2+2^2+\cdots+9^2)+23(1^2+2^2+\cdots+9^2)$$ $$=(21+22+23)(1^2+2^2+\cdots+9^2)$$ $$=66\cdot 285=18810$$ bulunur.
