Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$N$ pozitif tam sayısının $1$ dışındaki en küçük tek pozitif böleni $d$, en büyük tek pozitif böleni ise $D$ olsun. $N=15D+11d$ olmasını sağlayan $N$ pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4576  \qquad\textbf{b)}\ 4928  \qquad\textbf{c)}\ 5280  \qquad\textbf{d)}\ 5632  \qquad\textbf{e)}\ 5984$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{A}$

$p_1,p_2,.....,p_r$ artan sırada dizilmiş bir dizi tek asal sayı, $x$ doğal sayı ve $a_1,a_2,.....,a_r$ doğal sayılar olmak üzere (bunların hepsi $0$ olsaydı sayı $2^x=26$ yi sağlamalıydı. Bu yüzden $a_1$ kesinlikle pozitif tamsayıdır.) sayımızı $2^x\cdot{p_1}^{a_1}\cdot{p_2}^{a_2}.....{p_r}^{a_r}$ olarak yazalım. $d=p_1$ ve $D={p_1}^{a_1}\cdot{p_2}^{a_2}.....{p_r}^{a_r}$ dir. Buradan $(2^x-15)\cdot{p_1}^{a_1}\cdot{p_2}^{a_2}.....{p_r}^{a_r}=11{p_1}$ elde edilir. $a_1$ pozitif tamsayı olduğundan barizdir ki $x=4$'tür ve sayı $2^x\cdot{p_1}\cdot{11}$ ($p \leq 11$ olmalıdır çünkü bu sayının en küçük asal böleni $p_1$ dir.) formatındadır. $p_1$ tek asal sayı olduğundan $3,5,7,11$ değerlerini alabilir. Buradan cevap
$11\cdot16\cdot(3+5+7+11)=4576$ elde edilir.