Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 24

[matematikolimpiyati]

Başlangıçta bir doğru üzerinde farklı ağırlıklı $n$ top soldan sağa hafiften ağıra doğru sıralanmıştır. Her işlemde aralarında $2$ veya $5$ top olan iki top birbirleriyle yer değiştiriliyor. $n=2022,2023,2024,2025$ değerlerinin kaçı için birkaç işlem sonucunda toplar soldan sağa ağırdan hafife doğru dizilebilir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

$i.$ sıradaki bir top, bir hamle sonrası $(i-6).$, $(i-3).$, $(i+3).$ veya $(i+6).$ sıraya gelebilir. Yani bu topun yeni sırası $\bmod 3$ te değişmez.
$n=2022$ için $1 \not \equiv 2022 \pmod 3$
$n=2023$ için $2 \not \equiv 2022 \pmod 3$
$n=2024$ için $1 \not \equiv 2024 \pmod 3$
$n=2025$ için $1 \not \equiv 2025 \pmod 3$
olduğu için hiçbir $n$ değeri için topların sırası ilkinin tersi olamaz.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Problem invaryant (değişmez) kavramı ile ilgili olup, önceki çözümle çok benzer bir çözüm verelim.

Hamleler sonucunda $i$-inci sıradaki top $i \mp 3$ veya $i \pm 6$-ncı sıralara gelebildiği için bir topun başlangıç sırası modülo $3$ de değişmezdir. Sonlu sayıda hamle sonucunda,

$\bullet$ $1$-inci sıradaki top $n$-inci sıraya gelecektir. $n\equiv 1 \pmod{3}$ olmalıdır.

$\bullet$ $2$-nci sıradaki top $n-1$-inci sıraya gelecektir. $n\equiv 0 \pmod{3}$ olmalıdır.

Bu iki denklik birbiriyle çeliştiğinden, hiçbir $n$ pozitif tam sayısı için istenen düzenleme yapılamaz.