Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 02

[matematikolimpiyati]

$3^{p^3}+5^{p^5}+7^{p^7}+11^{p^{11}}$ toplamının $p$ ile tam bölünmesini sağlayan kaç $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

Bir $a$ pozitif tamsayısı ve $p$ asalı için fermat teoreminden $a^p \equiv a \pmod{p}$ olduğundan $a^{p^2}\equiv a^p \equiv a$ elde edilir. Aynı işlemi yeniden uygularsak  $a^{p^3}\equiv a^{p^2}\equiv a \pmod{p}$ elde edilir. Bu şekilde herhangi bir $n$ pozitif tamsayısı için $a^{p^n} \equiv a \pmod{p}$ elde edilir. Bu yüzden sorunun bize verdiği ifade $3^{p^3}+5^{p^5}+7^{p^7}+11^{p^{11}}\equiv 3+5+7+11 \equiv 26 \pmod{p}$ gelir. Buradan $p$'nin $2$ veya $13$ olabileceği anlaşılır. Yani $p$ nin alabileceği $2$ değer vardır.