Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 05

[matematikolimpiyati]

İç teğet çemberinin merkezi $I$ olan bir $ABC$ üçgeninde, $IBC$ üçgeninin çevrel çemberine $I$ noktasında teğet olan doğrunun $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarıyla kesişimlerine sırasıyla $M$ ve $N$ diyelim. $|BC|=225$, $|BM|=64$ ve $|CN|=81$ ise $|IB|+|IC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 250  \qquad\textbf{b)}\ 260  \qquad\textbf{c)}\ 270  \qquad\textbf{d)}\ 280  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{E}$

$\angle{ACI}=\angle{ICB}=\alpha$ ve $\angle{ABI}=\angle{IBC}=\theta$ olsun. Teğetlikten $\angle{MIB}=\alpha$ ve $\angle{NIC}=\theta$ elde edilir. $\triangle {IBC} \sim \triangle {NIC}$ olduğundan $|IC|^2=225\cdot81$ ve $|IC|=9\cdot15=135$ elde edilir. $\triangle {BMI} \sim \triangle {BIC}$ olduğundan da $|IB|^2=225\cdot64$ ve $|IB|=120$ elde edilir. Bizden istenen cevap $135+120=255$ olur.