Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 03

[matematikolimpiyati]

Her $n\geq 2$ pozitif tam sayısı için $n$'den büyük olmayan en büyük asal sayı $f(n)$, $n$'den büyük olan en küçük asal sayı $g(n)$ olsun. $$\dfrac{1}{f(2)g(2)} + \dfrac{1}{f(3)g(3)} + \cdots + \dfrac{1}{f(112)g(112)}$$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{109}{222}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{111}{226}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{110}{113}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{113}{1224}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{55}{111}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

$p<q$ ve $p$ ve $q$ ardışık asal sayılar olmak üzere. Herhangi bir $p \leq x <q$ $x$ tamsayısı için $f(x)=p$ ve $g(x)=q$ olduğundan $\frac{1}{f(x)g(x)}=\frac{1}{pq}$ olur. $p$ ve $q$ arasında $p$ dahil $q-p$ adet tamsayı olduğundan $\frac{1}{f(p)g(p)}+\frac{1}{f(p+1)g(p+1)}+......+\frac{1}{f(q-1)g(q-1)}=\frac{q-p}{pq}=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}$ olur. Buradan sorudaki ifade $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+.....-\frac{1}{113}$ olur. Buda birbirini götüren ifadelerden ötürü $\frac{1}{2}-\frac{1}{113}=\frac{111}{226}$ olur.