Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 20

[matematikolimpiyati]

Sekiz tane $1$ ve sekiz tane $0$,  $4 \times 4$ bir satranç tahtasının birim karelerine her bir birim karede bir sayı bulunacak şekilde yerleştirilecektir. Bu işlem, her bir satırdaki sayıların toplamı çift ve her bir sütundaki sayıların toplamı tek olacak şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 216  \qquad\textbf{b)}\ 240  \qquad\textbf{c)}\ 252  \qquad\textbf{d)}\ 288  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[vedatde]

Sekiz tane $1$ ve sekiz tane $0$ ,   bir satranç tahtasının birim karelerine her bir birim karede
bir sayı bulunacak şekilde yerleştiriliyorsa ve sutunların toplamı tek sayı ise bu durumda
sutunların toplamı $1,1,3,3$ şeklinde tek şekilde olabilir. Bunların sıralaması $ 4!/2!2!=6$ çesittir.
Verilen şartlarda satır toplamlarıda çift olacaktır. 0,2,4 olabilir.
$S1$ ve $S2$  toplamları $1$ olan sutunlar, $ S3$ ve $S4$  toplamları $3$ olan sutunlar olsun.
Şimdi $S3$ ve $S4$ olan sutunu düşünelim. Bu sutunlardaki satırlara $1$ ve $0$ ların dağılımında satır
toplamlarına katkısı $2,2,2,0$ şeklinde veya $2,2,1,1$ şeklinde olabilir.

$2,2,2,0$ şeklinde ise,
S1 ve S2 sutularında bulunan 1 er adet 1 lerde aynı satırda bulunarak toplama
katkısı 2 olabilir. Başkaca yerleşemez. Aşağıda gösterildiği gibi S3 ve S4 yerleşiminde 4 satırının birinde bulunur.
4 çesit seçim var. S3 ve  S4 satırları da kendi aralarında $ 4!/3!1!=4$   çeşit yer değiştirir.
Öyleyse bu durum için 4x4=16 çesit yerleşme olur.

S3    S4                     
1      1                                 
1      1
1      1
0      0   
 

$2,2,1,1$ şeklinde ise,
S3    S4                                                     S3    S4           
1      1                                                       1       1                             
1      1                  veya                              1       1 
1      0                                                       0       1
0      1                                                       1       0
S3 ve S4 satırları kendi aralarında $ 4!/2!1!1!=12 $ çeşit yerleşebilir.
Şimdi de S3 ve S4 sutununda bulunan 1 lerin satır toplamına katkısı 1 olduğu için S1 ve S2 sutunundaki 1 er adet
1 lerinde bu satırlara yerleştirerek satır toplamını 2 yani çift sayı yapabiliriz. Bu yerleşimde 2 çesittir.
Öyleyse 2x12=24 çesit yerleştirme olur. 

 S3    S4    S1   S2                                                 S3    S4    S1   S2       
1      1       0      0                                                  1       1     0      0                   
1      1       0      0                    veya                       1       1     0      0
1      0       0      1                                                  1       0     1      0
0      1       1      0                                                  0       1     0      1
Veya
S3    S4    S1   S2                                                 S3    S4    S1   S2       
1      1      0      0                                                  1       1     0      0                   
1      1      0      0                    veya                       1       1     0      0
0      1      0      1                                                  0       1     1      0
1      0      1      0                                                  1       0     0      1 

Yukarıdaki 2 yerleşimin toplam sayısı $16+24=40$ yerleşim var. Sutularda 6 çeşit yerleşiyordu.
Toplam olarak yerleşim sayısı $6$x$40$$=240$ çeşittir.
Yanıt b 

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Bir sütunda $1$ tane ya da $3$ tane $1$ olabilir.
Toplamda $8$ tane $1$ olacağı için sırası önemsenmeden tek konfigürasyon $3+3+1+1=8$ şeklinde olacaktır.
$3$ tane $1$ içeren sütunlar ya aynı satırda $0$ içerecek ya da ikincisi ilkinde $1$ içeren satırlardan birinde $0$ içerecek.

İki duruma örnek kabaca aşağıdaki gibi verilebilir:

$a)$

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & & \\ \hline
1 & 1 & & \\ \hline
 &  & & \\ \hline
\end{array}
$

$b)$

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
1 &  1 & &  \\ \hline
1 & 1 & & \\ \hline
1 &  &1 & \\ \hline
 &  1& &1 \\ \hline
\end{array}
$

Şimdi bu durumları ayrıntılı olarak açalım.

$a)$

$3$ tane $1$ içerecek sütunlar $\dbinom{4}{2}$ şekilde seçilebilir.
$3$ tane $1$ içeren sütunda hangi $3$ kareye $1$ konulacağı $\dbinom 43$ şekilde seçilebilir.
$1$ tane $1$ içeren sütunda $1$ konulacak kare $\dbinom 41$ şekilde seçilir.
$1$ tane $1$ içeren sütunlar aynı satırda $1$ içermeli; aksi durumda bu satırlarda tek sayıda $1$ olur.
O halde bu durum için $\dbinom 42 \dbinom 43 \dbinom 41=6\cdot 4 \cdot 4 = 24\cdot 4$ dağılım olur.

$b)$

$3$ tane $1$ içerecek sütunlar $\dbinom{4}{2}$ şekilde seçilebilir.
$3$ tane $1$ içeren ilk sütunda hangi $3$ kareye $1$ konulacağı $\dbinom 43$ şekilde seçilebilir. İkinci sütunda hangi kareye $1$ konulmayacağı $\dbinom 31$ şekilde seçilebilir.
$1$ tane $1$ içeren ilk sütunda $1$ için $\dbinom 21$ ihtimal söz konusu. İkinci sütundaki $1$ otomatik olarak ilk sütuna göre şekillenecek.

O halde bu durum için $\dbinom 42 \dbinom 43 \dbinom 31 \dbinom 21=6\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\cdot 6$ dağılım olur.

Tüm durumları toplarsak $24\cdot 4+24\cdot 6=24\cdot 10=240$ elde ederiz.