Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 30

[matematikolimpiyati]

Pozitif tam bölenlerinin ortancası (medyanı) $63$ olan en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır? (Bir veri grubunun ortancası, veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında veri sayısı tekse en ortadaki sayıya, çiftse en ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına eşittir.)

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ 22$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{D}$

Sorunun bizden istediği şeyi "birbirine en yakın iki pozitif tam çarpanının toplamı $126$ olan en küçük pozitif tamsayının rakamları toplamı" olarak ifade edebiliriz. Bu iki çarpan $63-x$ ve $63+x$ olsun. Bu ikisinin çarpımı $63^2-x^2$ olduğundan $x$'i maksimize etmeliyiz. $x$'in $63$ olduğu durumda tek bir çarpan oluştuğundan sayı tamkare olur ve medyanı bu sayının kökü olur. $63$'den geriye doğru sayalım. $63$ için ifade $63^2$ olur ki bu sayının medyanı $63$ değildir çünkü sayı $63\cdot {63}$ olarak yazılabildiği gibi, birbirine daha yakın iki sayı olan $49\cdot {81}$ olarakta yazılabilir. $62 $ için ifade $125\cdot1$ olur. Bu sayının  çarpanlarının medyanı $63$ değildir. ($25\cdot5$ olarak yazılabildiğinden). $61$ için $124\cdot2=62\cdot4$ olur. Bu şekilde hızlıca birkaç adet denersek ilk uygun örneğin $50$ olduğu bulunur. Sorunun bizden istediği sayı $113\cdot13=1469$ olur. Buradan cevap $1+4+6+9=20$ elde edilir.
Aradaki sayılar için örnekler
$123\cdot3=41\cdot9, 122\cdot4=61\cdot8, 121\cdot5=55\cdot11, 120\cdot6=12\cdot{10}, 119\cdot7=49\cdot{17}$, $118\cdot8=59\cdot{16}, 117\cdot9=39\cdot{27}, 116\cdot{10}=40\cdot{29}, 115\cdot{11}=55\cdot{23}, 114\cdot{12}=48\cdot{26}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Sayımız $n$ olsun. Eğer $n=m^2$, $m\in \mathbb{Z^+}$ biçiminde bir tam kare ise pozitif tam bölenlerinin sayısı tek sayı olup ortancası $m$ dir. $m=63$ için $n=63^2$ dir. $n$ sayısını bu değerden daha küçük yapabiliriz.

$n$ tam kare olmasın. Bu durumda $n$ nin çift sayıda pozitif böleni vardır. Bunları küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda $1, p, \dots, a, b, \dots , \dfrac{n}{p}, n$ olsun. Burada $a$ ve $b$ ortadaki iki bölen olup $a\neq b$'dir. Ortadan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımının $n$ olduğuna dikkat edelim. Yani $1\cdot n = p\cdot \dfrac{n}{p} = \cdots = ab = n$ dir. Ortanca $63$ verildiğinden $\dfrac{a+b}{2} = 63$ tür. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden $\dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$ olur. $a\neq b$ olduğundan aritmetik ortalama ile geometrik ortalama arasında eşitlik olamaz. Böylece $63> \sqrt{n}$ ve $n< 63^2$ olur. Yani $n$'nin  tam kare olmaması durumunda $n$ daha küçük değerler alacaktır. $a+b=126$ dır. Şimdi $a$ ve $b$ ye değerler verelim. $n$'yi minimize etmek için $a$'ya $1, 2, 3, \dots$ değerlerini vererek ilerlemeliyiz. Ayrıca $a$ ile $b$ arasında başka tam bölen olmaması da gerekir.

$a=1$, $b=125$ ise $n=125$ olur. Fakat $5\mid n$ ve $a<5<b$ dir. Buradan uygun çözüm gelmez.

$a = 2$, $b = 124$ ise $n = 2\cdot 124$ olur. Fakat $4 \mid n$ ve $a<4<b$ dir. Buradan uygun çözüm gelmez. Bu fikirle, küçük ve çift $a$ değerlerinde $b$ de çift olacağından $2a\mid n$ olacaktır. $a<2a<b$ iken uygun çözüm gelmez. Dolayısıyla $a$'nın küçük çift sayı değerlerinden ($a<42$ iken) çözüm gelmez. $a \not\in \{2, 4, 6, \dots, 40 \}$.

$a = 3$, $b = 123$ ise $n = 3\cdot 123$ olur. Fakat $9 \mid n$ ve $a<9<b$ dir. Buradan uygun çözüm gelmez. Bu fikirle, küçük ve $3$'ün katı olan $a$ değerlerinde $b$ de $3$'ün katı olacağından $3a\mid n$ olacaktır. $a<3a<b$ iken uygun çözüm gelmez. Dolayısıyla $a$'nın küçük $3$'ün katı değerlerinden ($a<31$ iken) çözüm gelmez. $a\not\in \{3, 6, 9, \dots, 30 \}$.

$a = 5$, $b=121$  ise $n = 5\cdot 121$ olur. Fakat $11 \mid n$ ve $a<11<b$ dir. Buradan uygun çözüm gelmez.

$a = 7$, $b=119$  ise $n = 7\cdot 119$ olur. Fakat $17 \mid n$ ve $a<17<b$ dir. Buradan uygun çözüm gelmez.

$a = 11$, $b=115$  ise $n = 11\cdot 115$ olur. Fakat $55 \mid n$ ve $a<55<b$ dir. Buradan uygun çözüm gelmez.

$a = 13$, $b=113$  ise $n = 11\cdot 113 = 1469$ olur. $13$ ve $113$ asal sayılardır. $n$'nin pozitif tam bölenleri $1, 13, 113, 1469$ olup tüm koşullar sağlanır. $n_{\min} = 1469$ sayısının rakamlarının toplamı $1 + 4 + 6 + 9 = 20$ bulunur.