Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 11

[matematikolimpiyati]

$\{3x\} + \{4x\} + \{5x\} =\{x\} +2$ denkleminin kaç tane $0<x<1$ çözümü vardır?  ($x$ gerçel sayısı için $x$'ten, $x$'i aşmayan en büyük tam sayının çıkarılmasıyla elde edilen sayı $\{x\}$ ile gösterilir. Örneğin, $\{20,24\} = 0,24$ ve $\{32\}=0$.)

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

$x=\lfloor{x}\rfloor+\{x\}$ olduğundan sorudaki eşitlik $11x-[-\lfloor{x}\rfloor+\lfloor{2x}\rfloor+\lfloor{3x}\rfloor+\lfloor{5x}\rfloor]=2$ olarak yazılabilir. Parantez içindeki kısım tamdeğerlerin toplamı olduğundan $11x$ tamsayı olmalıdır. Buradan $x\in\{\frac{1}{11},\frac{2}{11},\frac{3}{11}.....\frac{10}{11}\}$ elde edilir. Denenirse yalnızca $2$. Sağlar. Cevap $1$'dir.