$\quad$

Şekilde $ABCD$ ve $APQR$ dikdörtgenlerinin alanları sırasıyla $a$ ve $b$ dir. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ a<b \qquad\textbf{b)}\ 4a=3b  \qquad\textbf{c)}\ a=b \qquad\textbf{d)}\ 3a=2b \qquad\textbf{e)}\ a>b $

Bir torbada her birinin üzerinde $1$ den $20$ ye kadar olan tam sayılardan biri yazılı $20$ top bulunmaktadır. Üstünde aynı sayı yazılı olan herhangi iki top yoktur. Bu torbadan bir top çekilir ve üstündeki sayı kaydedildikten sonra top torbaya geri konur. Bu işlem $10$ defa tekrar edilirse, çıkan $10$ sayının hepsinin birbirinden farklı olma olasılığı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\dbinom{20}{10}}{20^{10}} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\dbinom{20}{10}10!}{20^{10}} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{10^{20}}{20^{10}}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{10^{10}}{20^{10}}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\dbinom{29}{10}}{20^{10}} $

Aşağıdakilerden hangisi $1994\cdot 1996 \cdot 1998 \cdot 2000 $ sayısından daha büyüktür?

$\textbf{a)}\ 1993^2 \cdot 2001^2 \qquad\textbf{b)}\ 1993 \cdot 1997^2 \cdot 1999 \qquad\textbf{c)}\ 1993\cdot 1995 \cdot 1997 \cdot 2001 \qquad\textbf{d)}\ 1993 \cdot 1997^2 \cdot 2001  \qquad\textbf{e)}\ 1995^2 \cdot 1999^2 $

$x+y+z=1$ olmak üzere $x,y,z$ pozitif reel sayıları için $$ \left(1+ \dfrac{1}{x}\right)\left(1+ \dfrac{1}{y}\right)\left(1+ \dfrac{1}{z}\right) $$ çarpımının alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ \dfrac{64}{27} \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 27 \qquad\textbf{d)}\ 64 \qquad\textbf{e)}\ 84 $

$13$ kişilik bir topluluk, her birinde en az bir kişi bulunan iki alt topluluğa kaç farklı biçimde ayrılabilir?

$\textbf{a)}\ 63 \qquad\textbf{b)}\ 168  \qquad\textbf{c)}\ 169 \qquad\textbf{d)}\ 4095 \qquad\textbf{e)}\ 8191 $

$ABCD$ dışbükey (konveks) dörtgeninde $|AB|=12$, $|BC|=4$, $|CD|=3$, $|DA|=13$ ve $m(\widehat{BCD})=90^\circ $ olduğuna göre, bu dörtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 32  \qquad\textbf{c)}\ 36 \qquad\textbf{d)}\ 48 \qquad\textbf{e)}\ 84 $

$ \lfloor x^2 +8x \rfloor  \leq A $ eşitsizliğinin, tam sayılar kümesi içinde tam olarak $13$ tane çözümü olması için $A$ nın alabileceği en küçük değer nedir?

$ \textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 19 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 30 $

Her $x$ reel sayısı için $\dfrac{x^2+ax+1}{x^2+4x+8}\lt 8$ eşitsizliği sağlanıyorsa, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ a^2\gt 8 \qquad\textbf{b)}\ 0 \leq a \leq 75  \qquad\textbf{c)}\ |a|\lt 10 \qquad\textbf{d)}\ a=0 \qquad\textbf{e)}\ a\lt 74 $

Her $n \in \mathbb N = \{ 1,2,3, \dots \}$ için $a_n =2^n$ olsun.
$(b_n)$ ile $(a_1, a_1, a_1, a_2, a_2,a_2,\dots , a_n,a_n,a_n, \dots )$ dizisinin genel terimini gösterelim. Her $n \in \mathbb N $ için
$$ k \leq \dfrac{b_n}{C^n} \leq K $$
olacak şekilde, $n$ ye bağlı olmayan pozitif $k$, $K$, $C$ sayıları varsa, $C$ ne olmalıdır?

$\textbf{a)}\ 2^\frac{1}{3} \qquad\textbf{b)}\  3^\frac{1}{3}  \qquad\textbf{c)}\  2^\frac{1}{2} \qquad\textbf{d)}\  3^\frac{1}{2} \qquad\textbf{e)}\  2^\frac{n}{3n-1} $

$n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere, $S_n$ ile $ \{ 1, 2, \dots , n \}$ kümesini gösterelim. $S_n$ kümesinin içerdikleri elemanların toplamları birbirine eşit olan iki ayrık alt kümeye ayrılabildiğini kabul edelim. Bu durumda aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}$ $n$, $4k+1$ biçiminde olmak zorundadır.
$ \textbf{b)}$ $n$, $4k+2$ biçiminde olabilir.
$\textbf{c)}$ $n$, $4k$ biçiminde olmak zorundadır.
$ \textbf{d)}$ $n$, ya $4k$ ya da $4k+3$ biçiminde olmak zorundadır.
$\textbf{e)}$ İstenen koşulları sağlayan bir $n$ sayısı yoktur.

Rasyonel sayılardan rasyonel sayılara tanımlı bir $f$ fonksiyonu tüm $a,b$ rasyonel sayıları için $f(a+b)=f(a)+f(b)$ denklemini sağlasın ve $f(2)=3$ olsun. $f\left(\dfrac 5 2 \right) $ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{5}{2} \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{15}{4}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11}{2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{15}{2} $

Pozitif tam sayı çiftlerinin kümesinden pozitif tam sayılar kümesine giden bir $f$ fonksiyonu, tüm $x$, $y$ pozitif tam sayıları için $f(x,x)=x$, $f(x,y)=f(y,x)$, $f(x,y)=f(x,x+y)$ koşullarını sağlıyorsa $f(91,143)$ nedir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ 15 $

Belli bir birime göre tüm kenar uzunlukları tamsayılar ve bir kenarının uzunluğu da $6$ olan kaç tane dik üçgen vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}$

$20^{15}-1$ sayısı aşağıdakilerden hangisi ile bölünmez?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 19  \qquad\textbf{c)}\ 31 \qquad\textbf{d)}\ 41 \qquad\textbf{e)}\ 61 $

Bir torbada $10$ kırmızı, $4$ beyaz top vardır. Toplar, çekilen toplar torbaya geri konmaksızın, birer birer torbadan çekilmektedir. Sekizinci top da çekildikten sonra, beyaz topların tümünün çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{10}{143} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{8}{51}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2}{7}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{15}{64} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2}{5} $

Çakışık olmayan $OA$ ve $OB$ doğruları veriliyor. $OA$ üzerinden seçilen bir noktadan $OB$ ye bir dik iniliyor ve dikmenin $OB$ üzerindeki ayağından $OA$ ya ikinci bir dik iniliyor. Son dikmenin $OA$ üzerindeki ayağından tekrar, $OB$ ye bir dikme iniliyor ve bu işlem sonsuz devam ediyor. İlk iki dikmenin uzunlukları sırası ile $a$ ve $b$ olsun. $a>b$ ise, çizilen sonsuz sayıdaki dikmenin uzunlukları toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{a^2}{(a-b)} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{(a-b)}{a^2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{a^2-b^2}{a}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{(a^2-b^2)}{b} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{a}{(a^2-b^2)}$

Doğal sayılardan tam karelerin atılmasıyla elde edilen $2,3, 5, 6,7,8, 9, 10, 11, \dots $ dizisinin $1994$ üncü terimi nedir?

$\textbf{a)}\ 2036 \qquad\textbf{b)}\ 2037  \qquad\textbf{c)}\ 2038 \qquad\textbf{d)}\ 2039 \qquad\textbf{e)}\ 2040 $

Rastgele seçilen altı basamaklı bir doğal sayının tam olarak iki basamağında $1$ bulunması olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{63}{755} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{81}{800}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{7}{45}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{51}{101} $

Rakamlarının sayı değerleri çarpımı $90$ olan kaç tane beş basamaklı pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 105 \qquad\textbf{b)}\ 135  \qquad\textbf{c)}\ 155 \qquad\textbf{d)}\ 180 \qquad\textbf{e)}\ 215 $

$\quad$

$ABC$ eşkenar üçgen, $m(\widehat{BCD})=90^\circ $, $|AB|=4$ ve $|CD|=2\sqrt{3}$ ise $|AE|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ \dfrac{8}{3} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{4}{3}  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{3} $

Bir çiftlikteki tavşanların sayısı Mart ayında bir tam karedir. Tavşanların sayısı Nisan ayında $100$ adet artarak bir tam kareden bir fazla hale gelir. Mayıs ayında, tavşan sayısı, yine $100$ adetlik bir artıştan sonra yeniden tam kare olur. Tavşanların Mart ayındaki sayısı ne olur?

$ \textbf{a)}\ 47^2 \qquad\textbf{b)}\ 48^2  \qquad\textbf{c)}\ 49^2 \qquad\textbf{d)}\ 50^2 \qquad\textbf{e)}\ 51^2 $

Bir tür loto oyunu, biletin üstündeki $1,2,\dots, 49 $ sayıları arasından $6$ tanesini seçip işaretlemek suretiyle oynanır. Yapılan çekilişte, bu $49$ sayıdan $6$ tanesi belirlenir. Lotoyu oynayan kişi, oynadığı biletin üstünde işaretlediği $6$ sayı ile çekilişte çıkan $6$ sayı aynıysa, büyük ikramiyeyi kazanır. Çekilişte $6$ sayıdan hiçbirini tutturamayanlara teselli mükafatı verilirse, teselli mükafatı kazanmayı garantilemek için, en az kaç bilet oynamak gerekir?

$ \textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 43 \qquad\textbf{d)}\ \dbinom{49}{6}-\dbinom{43}{6} \qquad\textbf{e)}\ \dbinom{49}{6} - 6\dbinom{48}{5} + 15\dbinom{47}{4}- 20\dbinom{46}{3} + 15\dbinom{45}{2} -6\dbinom{44}{1} + 1$
 

$\quad$

Şekildeki $O$ ve $O^\prime $ merkezli birbirine teğet çemberlerin yarıçapları sırası ile $R$ ve $r$ dir. Ortak teğet uzunluğu $|AB|=2\sqrt{3} $ ve dairesel bölgelerin alanları toplamı $10 \pi$ ise $R + r $ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1+\sqrt{3} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5}{2}  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 2+\sqrt{6} \qquad\textbf{e)}\ 4 $

Taban yarıçapları $2$ ve $6$ olan dik kesik koninin içine yerleştirilen küre, yanal yüzeye ve tabanlara teğet olduğuna göre, bu kesik koninin hacmi aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ \dfrac{148\sqrt3}{3}\pi \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{164\sqrt3}{3}\pi  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{208\sqrt3}{3}\pi  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{248\sqrt3}{3}\pi \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{324\sqrt3}{3}\pi $

$2|x-1| - |x+2| = 6 $ denkleminin çözümü olan reel sayıların toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 12 $

Boy ortalaması $1,68$ m olan bir toplulukta kadınların boy ortalaması $1,66$ m, erkeklerin boy ortalaması $1,74$ m'dir. Bu toplulukta erkek sayısının kadın sayısına oranı nedir?

$ \textbf{a)}\ \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2}{5}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{5} \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4 $

İç teğet çemberinin merkezi $I$, ağırlık merkezi $G$ olan $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla $15$, $21$ ve $9$ olduğuna göre $|GI|$ kaçtır?

$ \textbf{a)}\ \dfrac{1}{2} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2\sqrt{2}}{3} $

$ABC$ üçgeninde, $|AB|=|AC|$, $D \in [BC]$, $m(\widehat{CDA})=2\alpha$,  $m(\widehat{ACB})=\alpha$, $|CD|=x$, $|DB|=2$, $|CA|=y$ ise $x$ ile $y$ arasında hangi bağıntı vardır?

$\textbf{a)}\ y^2-2x=4 \qquad\textbf{b)}\ y-x=2  \qquad\textbf{c)}\ x^2=2y+2 \qquad\textbf{d)}\ x^2 + y^2=4 \qquad\textbf{e)}\ y^2 - 4x^2=1 $

Bir dolapta bulunan $10$ değişik çift ayakkabı arasından karanlıkta $8$ tane tek ayakkabı rastgele alınır. Bu sekiz ayakkabı içinde on çiftten hiçbirinin hem sağ, hem sol tekinin bulunmama olasılığı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\dbinom{10}{8}2!2^8}{\dbinom{20}{8}} \qquad
\textbf{b)}\ \dfrac{2^8}{\dbinom{20}{8}} \qquad
\textbf{c)}\ \dfrac{\dbinom{10}{8}2^8}{\dbinom{20}{8}} \qquad
\textbf{d)}\ \dfrac{\dbinom{10}{1}\dbinom{9}{6}2^6}{\dbinom{20}{8}}  \qquad
\textbf{e)}\ \dfrac{\dbinom{10}{8}}{\dbinom{20}{8}}$

$2,a,b,c,n$ pozitif tam sayılarından oluşan artan bir sonlu dizidir. $a,b,c$ sayı üçlüsünün tam $33$ farklı seçimi, bu dizinin ilk üç terimini geometrik, son üç teriminin de aritmetik bir dizi oluşturmasını sağlamaktadır. $n$ sayısının alacağı en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 1024  \qquad\textbf{c)}\ 1089 \qquad\textbf{d)}\ 2180 \qquad\textbf{e)}\ 2314 $

$b$, bir pozitif tam sayı ve $( \text{ }\text{ })_b$ sayıların $b$ tabanına göre gösterimi olmak üzere $(12)_b \cdot (15)_b \cdot (16)_b = (3146)_b $ ise, $(12)_b + (15)_b + (16)_b$ sayısının $10$ tabanındaki karşılığı nedir?

$\textbf{a)}\ 37 \qquad\textbf{b)}\ 40  \qquad\textbf{c)}\ 43 \qquad\textbf{d)}\ 48 \qquad\textbf{e)}\ 54 $

Aşağıdaki sayılardan hangisi, $4n^2 + 1$ sayısını $n$ nin sonsuz sayıda tam sayı değeri için böler?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 13 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

$m$, $n$ pozitif tam sayılar ve $p>2$ bir asal sayı olsun. $m\not \equiv 0 \pmod{p}$ olmak üzere $m^n + n^m \equiv 0 \pmod{p}$ denkliğini sağlayan $(m,n)$ sıralı ikililerinin oluşturduğu kümede kaç eleman vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ p \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz sayıda} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

Bir küpün bir köşesinde bulunan bir örümcek sadece küpün kenarları boyunca hareket edebilmektedir. Her noktadan en fazla bir defa geçmek koşuluyla, bu örümcek bulunduğu köşeden en uzaktaki köşeye kaç farklı yoldan gidebilir?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 18 \qquad\textbf{e)}\ 671 $

$$\sum_{n=1}^{100} \left \lfloor \dfrac{2n}{3} \right \rfloor $$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 300 \qquad\textbf{b)}\ 3267  \qquad\textbf{c)}\ 3300 \qquad\textbf{d)}\ 3330 \qquad\textbf{e)}\ 3333 $

$\lfloor x^2 + 4x \rfloor = \lfloor x^2 \rfloor + 4\lfloor x \rfloor $ denkleminin reel sayılardaki çözüm kümesinde $x=0$ sayısını içine alan en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ -1 \leq x \leq 1 \qquad\textbf{b)}\ 0\leq x < \sqrt{5}-2 \qquad\textbf{c)}\  -\dfrac{1}{2}\leq x \leq \sqrt{5}-2 \qquad\textbf{d)}\ x=0 \qquad\textbf{e)}\ 0\leq x \leq \sqrt{5}-2 $

$P_1, P_2, \dots , P_{12}$ farklı asal sayılar ve $P_1 + P_2 + \dots + P_{12} \equiv x \pmod{12}$ olsun. Bu durumda $x$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 11 $

$ABC$ üçgeninde $[AH_1]$, $[BH_2]$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişiyor. $H_1$, $H$, $H_2$ noktalarından geçen çemberin $H_1$ deki teğeti $[AB]$ yi $D$ de kesiyor. $|AC|=17$, $|CH_1|=15$, $|H_1B|=4$ olduğuna göre $|DH_1|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4\sqrt{5} \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt{5}  \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ 3 $

Dışbükey (konveks) $ABCD$ dörtgeninde $|DA|=|AB|=2$, $m(\widehat{A})=108^\circ $, $m(\widehat{C})=126^\circ $ ise $|AC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1+ \sqrt{2}}{2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3\sqrt{5}}{4} $

$A$, $B$, $C$, $D$ ve $E$ düzlem üstünde beş değişik nokta olsun. Bu noktaları birleştiren doğrulardan hiçbiri bir başkasına dik ya da paralel olmasın. Bu beş noktanın her birinden geri kalan dört noktayı birleştiren doğrulara dikler çizelim. Bu dikler birbirleriyle $A,B,C,D,E$ noktaları dışında toplam olarak en fazla kaç değişik noktada kesişebilirler?

$\textbf{a)}\ 300 \qquad\textbf{b)}\ 310  \qquad\textbf{c)}\ 320 \qquad\textbf{d)}\ 330 \qquad\textbf{e)}\ 360 $