Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 09

[Lokman Gökçe]

Her $n \in \mathbb N = \{ 1,2,3, \dots \}$ için $a_n =2^n$ olsun.
$(b_n)$ ile $(a_1, a_1, a_1, a_2, a_2,a_2,\dots , a_n,a_n,a_n, \dots )$ dizisinin genel terimini gösterelim. Her $n \in \mathbb N $ için
$$ k \leq \dfrac{b_n}{C^n} \leq K $$
olacak şekilde, $n$ ye bağlı olmayan pozitif $k$, $K$, $C$ sayıları varsa, $C$ ne olmalıdır?

$\textbf{a)}\ 2^\frac{1}{3} \qquad\textbf{b)}\  3^\frac{1}{3}  \qquad\textbf{c)}\  2^\frac{1}{2} \qquad\textbf{d)}\  3^\frac{1}{2} \qquad\textbf{e)}\  2^\frac{n}{3n-1} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Öncelikle en kolay görülen $b_3=a_1$, $b_6=a_2$, ... , $b_{3m}=a_m=2^m$ gözlemini yapalım. Her $n$ pozitif tamsayısı için sağlanan $k \leq \dfrac{b_n}{C^n} \leq K$ eşitsizliğinde $n=3m$ ($m$ bir pozitif tamsayı) yazarsak $k \leq \dfrac{b_{3m}}{C^{3m}} \leq K$ olup $$\dfrac{2^m}{C^{3m}}$$ üstel ifadesinin sınırlı olması gerekiyor. Bunun için bu oranın ya sabit ya da azalan olması gerekir. Eğer bu oran azalan bir ifade ise, en büyük alt sınır $k=0$ olacağından, $k>0$ bilgisi ile çelişir. O halde bu oran sabittir. Yani $$C=2^{\frac{1}{3}}$$ seçmeliyiz. Bu durumda $K\geq 1$ ve  $k\leq 1$ olacak biçimde $K,k$ sayıları seçmek yeterli oluyor.


Elbette $C$ nin bu değerini $n=3m-1$ ve $n=3m-2$ hallerinde de kontrol etmek gerekir.

$n=3m-2$ olsun. $b_1=a_1$, $b_4=a_2$, ... , $b_{3m-2}=a_m$ gözlemini yapmak kolaydır. Her $n$ pozitif tamsayısı için sağlanan $k \leq \dfrac{b_n}{C^n} \leq K$ eşitsizliğinde $n=3m-2$ yazarsak her $n$ pozitif tamsayısı için sağlanan $k \leq \dfrac{b_n}{C^n} \leq K$ eşitsizliğinde $n=3m$ ($m$ bir pozitif tamsayı) yazarsak $k \leq \dfrac{b_{3m-2}}{C^{3m-2}} \leq K$ olup $\dfrac{2^m}{C^{3m-2}}$ ifadesinin sınırlı olması gerekiyor. Bunun için  $C=2^{\frac{1}{3}}$ alınmalıdır. Tabii bu durumda $k\leq 2^{-\frac23}$ ve $K\geq 2^{-\frac23}$ olacak biçimde $K,k$ sayıları seçmek yeterli oluyor.

Son olarak $n=3m-1$ durumunda da benzer işlemler ile $C=2^{\frac{1}{3}}$ , $k\leq 2^{-\frac13}$ ve $K\geq 2^{-\frac13}$ olacak biçimde $K,k$ sayıları seçmek yeterli oluyor.

Sonuç olarak tüm durumları beraber düşünürsek $C=2^{\frac{1}{3}}$, $0 < k\leq 2^{-\frac23}$ ve $K\geq 1$ seçilmelidir.