Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 33

[Lokman Gökçe]

$m$, $n$ pozitif tam sayılar ve $p>2$ bir asal sayı olsun. $m\not \equiv 0 \pmod{p}$ olmak üzere $m^n + n^m \equiv 0 \pmod{p}$ denkliğini sağlayan $(m,n)$ sıralı ikililerinin oluşturduğu kümede kaç eleman vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ p \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz sayıda} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$m=1$ ise $1 + n \equiv 0 \pmod p \Rightarrow n \equiv p-1 \pmod p$ olacak. $k$ pozitif bir tam sayı olmak üzere; $1^{kp - 1} + (kp-1)^1 \equiv 0 \pmod p$ olacağı için $n=kp-1$ sayıları denkliği sağlar.
O halde bu denkliğin sonsuz sayıda çözümü vardır.