Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 04

[Lokman Gökçe]

$x+y+z=1$ olmak üzere $x,y,z$ pozitif reel sayıları için $$ \left(1+ \dfrac{1}{x}\right)\left(1+ \dfrac{1}{y}\right)\left(1+ \dfrac{1}{z}\right) $$ çarpımının alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ \dfrac{64}{27} \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 27 \qquad\textbf{d)}\ 64 \qquad\textbf{e)}\ 84 $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

İfadeyi açalım,  $$\left(1+ \dfrac{1}{x}\right)\left(1+ \dfrac{1}{y}\right)\left(1+ \dfrac{1}{z}\right)=1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1+x+y+z}{xyz}=1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{2}{xyz}$$ A.G.O.'dan $$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow \dfrac{1}{xyz}\geq 27$$ A.H.O.'dan $$\dfrac{x+y+z}{3}\geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\geq 9$$ Bu iki eşitsizlikten $$\left(1+ \dfrac{1}{x}\right)\left(1+ \dfrac{1}{y}\right)\left(1+ \dfrac{1}{z}\right)\geq 64$$ olur. Eşitlik durumu $x=y=z=\dfrac{1}{3}$'tür.