Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 27

[Lokman Gökçe]

İç teğet çemberinin merkezi $I$, ağırlık merkezi $G$ olan $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla $15$, $21$ ve $9$ olduğuna göre $|GI|$ kaçtır?

$ \textbf{a)}\ \dfrac{1}{2} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2\sqrt{2}}{3} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Lemma: Herhangi bir $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ olmak üzere $IG \parallel BC$ olması için gerek ve yeter şart $a=\dfrac{b+c}{2}$ olmasıdır.

İyi bilinen bu lemmanın ispatını vermeyeceğiz ancak ilk kez karşılaşan okuyucuların kendi çabasıyla lemmayı ispatlamalarını önemle tavsiye ederiz.

$|AB|=c=9$, $|AC|=b=21$, $|BC|=a=15$ olsun. $15=\dfrac{21+9}{2}$ olduğundan lemmaya göre, $IG \parallel BC$ dir. $[AD]$ iç açıortay ve $[AE]$ kenarortay olmak üzere paralellikten $AIG \sim ADE$ olup $$\dfrac{|IG|}{|DE|}=\dfrac{|AG|}{|AE|}=\dfrac{2}{3} \tag{1}$$ yazılır.

O halde $|DE|$ uzunluğunu hesaplayalım. İç açıortay teoreminden $\dfrac{|BD|}{9}= \dfrac{|CD|}{21}$ dir. $|BD|=3x$, $|CD|=7x$ dersek $|BC|=10x=15$ olup $x=\dfrac{3}{2}$, $|BD|=\dfrac{9}{2}$ dir. $|BE|=|CE|=\dfrac{15}{2}$ olduğundan $|DE|=\dfrac{15-9}{2}=3$ tür.

$(1)$ denkleminden $|IG|=2$ bulunur.