Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 38

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninde $[AH_1]$, $[BH_2]$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişiyor. $H_1$, $H$, $H_2$ noktalarından geçen çemberin $H_1$ deki teğeti $[AB]$ yi $D$ de kesiyor. $|AC|=17$, $|CH_1|=15$, $|H_1B|=4$ olduğuna göre $|DH_1|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4\sqrt{5} \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt{5}  \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ 3 $

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$\angle HH_1C = \angle HH_2C = 90^\circ$ olduğu için $HH_1CH_2$ kirişler dörtgenidir. Yani $(HH_1H_2)$ çemberi $C$ den geçer.
Basit açı hesabıyla ve teğet-kiriş açı özelliği ile $\angle BAH_1 = \angle HCH_1 = \angle HH_1B$ ve dolayısıyla $AD= DH_1$ elde edilir.
$ABH_1$ dik üçgen olduğu için $DH_1 = \dfrac {AB}{2}$.
$AH_1C$ dik üçgeninde Pisagor'dan $AH_1 = 8$. $AH_1B$ dik üçgeninde Pisagor'dan $AB=4\sqrt 5$.
Bu durumda $DH_1 = 2\sqrt 5$ olur.