Yanıt: $\boxed{B}$
Noktalar $A,B,C,D,E$ olsun.
$(A,B)$ ikilisi için; $A$ dan inilen dikmelerle ($d(A)$) $B$ den inilen dikmelerin ($d(B)$) kaç noktada kesiştiğine bakalım.
$B$ den inilen dikmeleri $A$ dan geçen doğrularla ($AE$, $AD$, $AC$) ile $A$ dan geçmeyenler ($ED$, $DC$, $EC$) doğrulara indirilen dikmeler diye iki gruba alalım. ($d_1(B)$ ile $d_2(B)$)
$d(A)$ ile $d_1(B)$ deki her doğru $6$ noktada, toplam $6 \times 3=18$ noktada kesişir. Bu iki kümenin elemanları paralel değildir.
$d(A)$ ile $d_2(B)$ deki her doğru $6$ noktada kesişmez. Örneğin $d(B, ED) \parallel d(A, ED)$ olduğu için $5$ noktada kesişir. $5 \times 3=15$.
$d(A)$ ile $d(B)$; $15+18=33$ noktada kesişir.
$C(5,2) = 10$ nokta çifti olduğu için $330$ kesişim noktası çıkar.
Çözümde eksik olan bir şeyler daha var: üçgenlerin diklik merkezleri.
$A,B,C,D,E$ noktaları $C(5,3) = 10$ üçgen belirtir. $330$’u bulurken $3$ dikme $3$ noktada kesişir varsaymıştık. Halbuki diklik merkezinden dolayı $3$ değil $1$ noktada kesişirler. Yani her üçgen için $2$ nokta fazla sayılmış. $2\times 10 = 20$.
$ \boxed{330-20=310}$.
Not 1: Bu soru
IMO 1964/5 sorusu ile aynı.
IMO sorusunda $A,B,C,D,E$ noktalarının sayılıp sayılmayacağı hakkında bir şey denmediği için orada cevap $315$ olarak bulunmuştu. Burada cevap $310$ olacaktır.
Aslında soru burada bitmiyor. $A,B,C,D,E$ nin seçilişine göre başka dikmeler de noktadaş olabilir.
Öyle $5$ nokta seçilebilir mi ki, söz konusu dikmeler $310$ değişik noktada kesişsin.
John Scholes, kalva.demon.co.uk, yarışmacıların sözlü olarak bunu yapmalarına gerek olmadığı şeklinde bilgilendirildiğini düşünüyor.
The Imo Compendium kitabına göre jüri örnek $5$ nokta beklememiş. Yine bu kitabın ifadesine göre $A(1,1)$, $B(e, \pi)$, $C(e^2, \pi^2)$, $D(e^3, \pi^3)$, $E(e^4, \pi^4)$ noktalarının yukarıda tespit ettiklerimiz dışında noktadaş dikmeler oluşturmayacağı kolaylıkla görülebilir. Ben ise kolayca göremiyorum. Bu konuda çözümünüz varsa burada paylaşabilirsiniz.
Not 2: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(E)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.
