Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 02

[Lokman Gökçe]

Bir torbada her birinin üzerinde $1$ den $20$ ye kadar olan tam sayılardan biri yazılı $20$ top bulunmaktadır. Üstünde aynı sayı yazılı olan herhangi iki top yoktur. Bu torbadan bir top çekilir ve üstündeki sayı kaydedildikten sonra top torbaya geri konur. Bu işlem $10$ defa tekrar edilirse, çıkan $10$ sayının hepsinin birbirinden farklı olma olasılığı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\dbinom{20}{10}}{20^{10}} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\dbinom{20}{10}10!}{20^{10}} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{10^{20}}{20^{10}}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{10^{10}}{20^{10}}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\dbinom{29}{10}}{20^{10}} $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

İlk çekilen topun daha önce çıkmamış olma olasılığı $\dfrac{20}{20}$,
İkinci çekilen topun daha önce çıkmamış olma olasılığı $\dfrac{19}{20}$,
.
.
.
$10.$ çekilen topun daha önce çıkmamış olma olasılığı $\dfrac{10}{20}$.

$10$ sayısının farklı olma olasılığı $\dfrac{20}{20}\cdot \dfrac{19}{20}\cdots \dfrac{10}{20}=\dfrac{\dfrac{20!}{10!}}{20^{10}}=\dfrac{\dbinom{20}{10}\cdot 10!}{20^{10}}$ bulunur.