Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 05

[Lokman Gökçe]

$13$ kişilik bir topluluk, her birinde en az bir kişi bulunan iki alt topluluğa kaç farklı biçimde ayrılabilir?

$\textbf{a)}\ 63 \qquad\textbf{b)}\ 168  \qquad\textbf{c)}\ 169 \qquad\textbf{d)}\ 4095 \qquad\textbf{e)}\ 8191 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Bu $13$ kişiden birisi $A$ olsun. $A$ kişisini ilk gruba koyalım ve böylece gruplarda simetrik (özdeş) durumlar oluşmasını engelleyelim. Geri kalan $12$ kişinin her birini ya birinci gruba ya da ikinci gruba gönderebiliriz. Bunların dağıtım sayısı $2^{12}=4096$ dır. Ancak herkesin ilk grupta olduğu, ikinci grubun ise boş olduğu $1$ durum vardır. Bu istenmeyen durumu çıkarırsak, istenen durumların sayısı $4096-1=4095$ tir.