Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2025 Çözümleri

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC], [AC], [AB]$ kenarları üzerinde sırasıyla $K,L,M$ noktaları $|BK|=|BM|$ ve $|CK|=|CL|$ olacak şekilde alınıyor. $s(\widehat{BAC})=50^{\circ}$ ise $s(\widehat{LKM})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 25^{\circ} \qquad\textbf{b)}\ 40^{\circ} \qquad\textbf{c)}\ 50^{\circ} \qquad\textbf{d)}\ 65^{\circ} \qquad\textbf{e)}\ 80^{\circ}$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{D}$

$s(\widehat{ABC})=2a$ ve $s(\widehat{ACB})=2b$ dersek, basit bir hesaplamayla $s(\widehat{LKM})=a+b$ bulunur. $$2a+2b=s(\widehat{ABC})+s(\widehat{ACB})=180^\circ-50^\circ=130^\circ\implies s(\widehat{LKM})=a+b=65^\circ$$ bulunur.

$2025^3$ sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi $375$ sayısının bir katı değildir?

$\textbf{a)}\ 43 \qquad\textbf{b)}\ 48 \qquad\textbf{c)}\ 58 \qquad\textbf{d)}\ 72 \qquad\textbf{e)}\ 91$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{A}$

$2025^3=45^6=3^{12}\cdot 5^6$ ve $375=3\cdot 5^3$'dür. $375$'in katı olup $2025^3$'ün böleni olan sayılar $375d$ formatındadır ve $d\mid 3^{11}\cdot 5^3$'dür. Bu şartı sağlayan $12\cdot 4=48$ bölen vardır. $2025^3$'ün bölenlerinin sayısı $13\cdot 7=91$ olduğundan $91-48=43$ tane pozitif bölen $375$'in katı değildir.

Bir kutudaki topların her biri kırmızı, beyaz, siyah ve mavi renklerinden birine boyalıdır. Bu kutuya, kutudaki kırmızı top sayısı kadar kırmızı top ekleniyor ve bunun sonucunda kutudaki toplam top sayısı $\%20$ artıyor. Bundan sonra, kutuya kutudaki beyaz top sayısı kadar beyaz top ekleniyor ve bunun sonucunda kutudaki toplam top sayısı $\%25$ artıyor. Son olarak, kutuya kutudaki siyah top sayısı kadar siyah top ekleniyor ve bunun sonucunda kutudaki toplam top sayısı $\%30$ artıyor. Buna göre, başlangıçta kutuda bulunan topların yüzde kaçı mavidir?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 25$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed A$

Topların sayısını renklerin baş harfi ile gösterelim.
Sorunun daha genel halini çözeceğiz.
$k+b+s+m=T$, $\dfrac{k}{T}=x$, $\dfrac{b}{T+k}=y$, $\dfrac{s}{T+k+b}=z$.

Oranların hepsine $1$ ekleyelim.
$\dfrac{T+k}{T}=1+x$, $\dfrac{T+k+b}{T+k}=1+y$, $\dfrac{T+k+b+s}{T+k+b}=1+z$

Şimdi de hepsini çarpalım.
$\dfrac{T+k+b+s}{T}=(1+x)(1+y)(1+z)$

$\dfrac{T+T-m}{T} =(1+x)(1+y)(1+z) \Longrightarrow \dfrac mT = 2-(1+x)(1+y)(1+z)$

$\dfrac mT = 2-\dfrac {120}{100}\cdot \dfrac {125}{100} \cdot \dfrac {130}{100}=2-\dfrac{195}{100}=\dfrac {5}{100}$

Çözüm 2:

Topların sayısını renklerin baş harfi ile gösterelim.

$\dfrac{k}{k+b+s+m}=\dfrac 15$, $\dfrac{b}{2k+b+s+m}=\dfrac 14$, $\dfrac{s}{2k+2b+s+m}=\dfrac{3}{10}$.

$\begin{array}{rcl}
4k &=& b + s + m \\
3b &=& 2k + s + m\\
7s &=& 6k+6b+3m
\end{array}$

$4k-3b = b-2k \Longrightarrow 6k = 4b$.

$3\cdot 3b - 7s = 3(2k+s+m)-(6k+6b+3m)=3s-6b \Longrightarrow 15b = 10s$.

$b=30p$ dersek $k=20p$ , $s=45p$.
İlk denklemde yerine yazarsak $80p = 30p+45p+m \Longrightarrow m=5p$.

$\dfrac{m}{k+b+s+m}=\dfrac{5p}{100p}=\dfrac 5{100}$.

Çözüm 3:

Yanıt: $\boxed{A}$

Problem yüzde hesabı olduğu için torbada bulunan topların sayısına $100$ diyelim. Verilen bilgilerle,

$100\cdot \dfrac{20}{100} = 20$ kırmızı bilye vardır.
$120\cdot \dfrac{25}{100} = 30$ beyaz bilye vardır.
$150\cdot \dfrac{30}{100} = 45$ siyah bilye vardır.

O halde mavi bilye sayısı $100 - 20 - 30 - 45 = 5$ olur. Mavilerin başlangıçtaki oranı $\dfrac{5}{100} = \%5$ bulunur.

Herhangi ikisinin boyutu birbirinden farklı olan $8$ topun her biri kırmızı, beyaz ve mavi renklerinden birine, en az bir top kırmızı ve en az bir top beyaz olmak koşuluyla kaç farklı şekilde boyanabilir?

$\textbf{a)}\ 5896 \qquad\textbf{b)}\ 5924 \qquad\textbf{c)}\ 5986 \qquad\textbf{d)}\ 6050 \qquad\textbf{e)}\ 6102$

Çözüm:

Tüm durum: $ 3^8 = 6561 $
Kırmızı boyalı top olmayan durum: $ 2^8 = 256 $
Beyaz boyalı top olmayan durum: $ 2^8 = 256 $
Kırmızı ve beyaz boyalı top olmayan durum: $ 1^8 = 1 $
İçerme-Dışarma Prensibinden $ 6561 - (256 + 256) + 1 = 6050 $ olarak bulunur.

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğu verilmiştir. $[AB]$ kenarı üzerinde $K$ ve $L$ noktaları, $K$ noktası $A$ ve $L$ noktaları arasında yer alacak ve $2|CD|=3|BL|=4|AK|$ olacak şekilde alınıyor. $Alan(ABCD)=40$ ve $Alan(BCD)=12$ ise $Alan(KLC)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 18$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{C}$

$|CD|=6k$, $|BL|=4k$, $|AK|=3k$ diyelim. $AB$ ve $CD$ doğrularının arasındaki uzaklık (yükseklik) $h$ olsun. $|KL|=y$ olsun. Bu durumda $$\frac{40}{12}=\frac{\operatorname{Alan}(ABCD)}{\operatorname{Alan}(BCD)}=\frac{\frac{(|AB|+|CD|)\cdot h}{2}}{\frac{|KL|\cdot h}{2}}=\frac{13k+y}{6k}\implies y=7k$$ bulunur. Buradan, $$\frac{\operatorname{Alan}(BCD)}{\operatorname{Alan}(KLC)}=\frac{\frac{6kh}{2}}{\frac{yh}{2}}=\frac{6}{7}\implies \operatorname{Alan}(KLC)=14$$ bulunur.

Kaç $n$ tam sayısı için $\dfrac{n^2-111^2}{n+11}$ ifadesi bir tam sayıdır?

$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 30 \qquad\textbf{c)}\ 36 \qquad\textbf{d)}\ 48 \qquad\textbf{e)}\ 66$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{D}$

$n+11\mid n^2-111^2$ olduğundan $$n+11\mid n^2-11^2-111^2+11^2\iff n+11\mid 111^2-11^2=100\cdot 122\iff n+11\mid 2^3\cdot 5^2\cdot 61$$ olacaktır. $n+11$'in alabileceği $4\cdot 3\cdot 2=24$ pozitif böleni vardır. Tüm tamsayı bölenlerin sayısı $2\cdot 24=48$'dir.

$a$ ve $b$ verilmiş gerçel sayılar olsun. $x_1,x_2, \cdots $ dizisi her $n$ pozitif tam sayısı için $x_n=(a+n)^2+(b+n)^2$ olarak tanımlanıyor. $x_5-x_1=100$ ise $x_9-x_5$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100 \qquad\textbf{b)}\ 108 \qquad\textbf{c)}\ 124 \qquad\textbf{d)}\ 148 \qquad\textbf{e)}\ 164$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{E}$

$x_n=(a+n)^2+(b+n)^2=2n^2+2(a+b)n+(a^2+b^2)$'dir. Dolayısıyla, $$x_5-x_1=2\cdot 5^2+10(a+b)-2\cdot 1^2-2(a+b)=48+8(a+b)=100\implies a+b=\frac{13}{2}$$ buluruz. Yani $x_n=2n^2+13n+(a^2+b^2)$'dir. Buradan $$x_9-x_5=(2\cdot 9^2+13\cdot 9)-(2\cdot 5^2+13\cdot 5)=164$$ elde edilir.

Bir doğru üzerine birkaç bilye dizilmiştir. Her bilye ya kırmızı ya da beyaz renktedir. Herhangi $12$ ardışık bilyeden kırmızı ve beyaz olanların sayıları birbirine eşittir fakat herhangi $14$ ardışık bilyeden kırmızı ve beyaz olanların sayıları birbirinden farklıdır. Buna göre, doğru üzerindeki toplam bilye sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 18 \qquad\textbf{c)}\ 20 \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{B}$

$N$ tane bilye olsun. En fazla bilyeyi kullanmak adına sürekli ilerlemeye çalışalım. İlk $12$ bilyede $6$ kırmızı, $6$ beyaz olacak şekilde bir dizilim yapalım. Bu durumda $13.$ bilye, renk sayılarını korumak adına $1.$ bilye ile aynı olmalıdır. Benzer şekilde $n.$ bilye ile $(n+12).$ bilye aynı renk olmalıdır. Yani ilk $12$ bilye tüm $N$ bilyeyi belirler. Eğer $1.$ ve $2.$ bilye farklı renkteyse ilk $14$ bilyede $7$ kırmızı ve $7$ beyaz olacağından çelişki olacaktır. Benzer şekilde $n.$ ve $(n+1).$ bilyeler farklı renkte ise $(n+12).$ ve $(n+13).$ bilyeler de farklı renkte olacağından $n,n+1,\dots,n+13$ içerisinde $7$ beyaz, $7$ kırmızı olacaktır. Bu da çelişki olacağından ardışık iki bilye, eğer $(n+12).$ ve $(n+13).$ bilyeler varsa, aynı renkte olmalıdır. $N\geq 19$ olursa bu mümkün değildir çünkü ilk $7$ bilyenin aynı renk olması gerekir fakat ilk $12$ bilye arasında tam olarak $6$ beyaz ve $6$ kırmızı vardır. Bu yüzden $N\leq 18$ olmalıdır. $N=18$ için örnek durum da $$KKKKKKBBBBBBKKKKKK$$ şeklindedir.

Kenar uzunluğu $8$ olan bir $ABCD$ karesinin köşegenlerinin kesişim noktası $O$ olsun. $[AB]$ kenarı üzerinde yer alan $K$ ve $L$ noktaları $|BK|-|AL|=4$ koşulunu sağlıyor. $[KL]$ doğru parçasının orta noktası $M$ olmak üzere, $|OM|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt5 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 4\sqrt2 \qquad\textbf{e)}\ 6$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{B}$

$O$'dan $AB$'ye inilen dikme $H$ olsun. $|AL|=x$ ve $|LM|=y$ dersek, $|HB|=4$ olduğundan $|MK|=y$ ve $|KH|=x$ olacaktır. Dolayısıyla, $|MH|=x+y=2$ olacaktır. $|OH|=4$ olduğundan Pisagor teoreminden, $|OM|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$ bulunur.

Bir masa üzerindeki taşların bazıları kırmızı, bazıları beyaz renktedir ve kırmızı taşların sayısı beyaz taşların sayısından bir fazladır. Her taşın ağırlığı $1$, $15$ veya $50$ gramdır. Beyaz taşların toplam ağırlığı $B$ ve kırmızı taşların toplam ağırlığı $K$ olsun. $B>K$ ise $B-K$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 6$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{E}$

Kırmızı ve beyaz taşların sayısı sırasıyla $k_1 $,$k_2$,$k_3$,$b_1$,$b_2$,$b_3$ olsun. $$b_1+b_2+b_3=k_1+k_2+k_3-1.$$ $B-K>0$ olduğundan $$b_1+15b_2+50b_3-k_1-15k_2- 50k_3>0,$$ $$\implies (b_1+ b_2+ b_3 )-(k_1+ k_2+ k_3 )+14(b_2-k_2 )+49(b_3-k_3 )>0$$ $$\implies -1+14(b_2-k_2)+49(b_3-k_3 )>0$$ $$\implies -1+7[2b_2-2k_2+7b_3-7k_3] >0 $$ elde edilir. Son yazılan ifadenin en küçük pozitif değeri $ 2b_2-2k_2+7b_3-7k_3=1$ iken $B-K=7-1= 6>0$ durumunda oluşur.

Örneğin $ b_2-k_2=4 $ ve $ b_3-k_3=-1 $ durumunda $-1+56-49=6>0 $ olacaktır. $B-K$ sayısının alabileceği en küçük pozitif değeri $ 6 $ olmaktadır.

$a,b,c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $a^2+4b^2+c^2=2ab+ac+2bc$ eşitliği sağlanıyorsa $\dfrac{a+b}{c}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac12 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac52$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen ifadeyi düzenlersek, $$2a^2+8b^2+2c^2-4ab-2ac-4bc=(a-2b)^2+(a-c)^2+(c-2b)^2=0$$ olacaktır. Tek çözüm $a=c=2b$'dir. Buradan $\frac{a+b}{c}=\frac{2b+b}{2b}=\frac{3}{2}$ elde edilir.

Bir masa üzerinde $m$ ve $n$ bilye içeren iki öbek bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu ya her iki öbekten birer bilye alıyor, ya sadece istediği bir öbekten bir bilye alıyor ya da istediği bir öbekten diğer öbeğe bir bilye aktarıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Bu oyun $(m,n) = (9,21), (11,11), (10,33), (16,24)$ ve $(25,26)$ için birer kez oynanırsa, oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

Öbeklerde $a$ ve $b$ tane taş olması durumunu $(a,b)$ ile gösterelim. $(a,b) = (0,0)$ durumunda oyunun kaybedileceği açıktır. Oyuna başlayan kişinin kazanabildiği oyunlara $A$ oyunu, kaybettiği oyunlara $B$ oyunu diyelim. $(a,b)$ ikilisi için yapılabilecek hamleler $(a-1, b), (a, b-1), (a-1, b+1), (a+1, b-1), (a-1, b-1)$ dir. Bunun anlamı, $(a,b)$ tam sayı koordinatlı bir noktanın etrafındaki $5$ tam sayı koordinatlı noktaya ulaşabilmek mümküdür. Fakat bu noktanın sağındaki sağ altındaki veya altındaki $(a, b+1), (a+1, b+1), (a+1, b)$ şeklindeki $3$ noktaya hamle yapılamamaktadır. Buna göre $(m,n)$ ikilileri için aşağıdaki tabloyu doldurabiliriz:

$$
\begin{array}{c|cccccc}
m \backslash n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
0 & B & A & B & A & B & A \\
1 & A & A & A & A & A & A \\
2 & B & A & B & A & B & A \\
3 & A & A & A & A & A & A \\
4 & B & A & B & A & B & A \\
5 & A & A & A & A & A & A \\
\end{array}
$$

Eğer $5$ uygun hamleden birini yaparak rakibe $B$ oyunu bırakabiliyorsak o hücreye $A$ oyunu yazarız. Eğer $5$ hamlenin tamamı da rakibe $A$ oyunu bırakıyorsa, o kareye $B$ oyunu yazarız. Böylece her iki bileşeni de çift sayı koordinatlı olan oyunlar $B$ oyunu olmaktadır.

Sonuç olarak yalnızca $(16, 24)$ bir $B$ oyunu olur. Diğer $4$ oyunu ilk başlayan oyuncu kazanır.

Bir $ABCDEFGH$ düzgün sekizgeninin iç bölgesinde $K$ ve $L$ noktaları ile dış bölgesinde bir $S$ noktası, $ABKL$ bir kare ve $ABS$ bir eşkenar üçgen olacak şekilde alınıyor. Buna göre, $s(\widehat{CKS})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 60^{\circ} \qquad\textbf{b)}\ 67.5^{\circ} \qquad\textbf{c)}\ 75^{\circ} \qquad\textbf{d)}\ 82.5^{\circ} \qquad\textbf{e)}\ 90^{\circ}$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{D}$

$|KB|=|BC|=|BS|$ olduğundan $KBS$ ve $KBC$ üçgenleri ikizkenar üçgendir. $s(\widehat{KBS})=150^\circ$ olduğundan $s(\widehat{BKS})=15^\circ$'dir. $s(\widehat{KBC})=45^\circ$ olduğundan $s(\widehat{CKB})=67.5^\circ$'dir. Dolayısıyla, $$s(\widehat{CKS})=s(\widehat{BKS})+s(\widehat{CKB})=82.5^\circ$$ bulunur.

$\overline{AB}$ ve $\overline{CD}$ iki basamaklı sayılar olmak üzere, dört basamaklı $\overline{ABCD}$ sayısı $\overline{AB}$ $\cdot$ $\overline{CD}$ sayısı ile tam bölünmektedir. Buna göre, $\overline{ABCD}$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 8$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{B}$

$\overline{ABCD}=100\cdot \overline{AB}+\overline{CD}$'dir. Bu sayı $\overline{AB}$'ye bölündüğünden $\overline{AB}\mid \overline{CD}$ olacaktır. $\overline{CD}=k\cdot \overline{AB}$ olsun. Bu durumda $\overline{AB}\cdot \overline{CD}=k\cdot \overline{AB}^2$ ve $\overline{ABCD}=(100+k)\cdot \overline{AB}$'dir. Dolayısıyla, $$\overline{AB}\cdot \overline{CD}\mid \overline{ABCD}\implies k\cdot \overline{AB}^2\mid (100+k)\overline{AB}\implies k\cdot \overline{AB}\mid k+100$$ bulunur. $k\mid k+100$ ve $k\mid 100$ olacaktır. $k\cdot \overline{AB}=\overline{CD}$ olduğundan $k=1,2,4,5$ olabilir.

$k=1$ ise $\overline{AB}\mid 101$ olur, çözüm yoktur.

$k=2$ ise $\overline{AB}\mid 51$ olacaktır. $\overline{AB}=17,51$ olabilir ancak $\overline{CD}=2\cdot \overline{AB}$ olduğundan $\overline{ABCD}=1734$ olmalıdır.

$k=4$ ise $\overline{AB}\mid 26$ olacaktır. $\overline{AB}=13,26$ olabilir ancak $\overline{CD}=4\cdot \overline{AB}$ olduğundan $\overline{ABCD}=1352$ olmalıdır.

$k=5$ ise $\overline{AB}\mid 21$ olacaktır. $\overline{AB}=21$ olmalıdır ancak $\overline{CD}=105$ çelişkisi elde edilir.

Şartı sağlayan tüm sayılar $1734,1352$'dir.

Bir masa üzerinde her biri $10$ toptan oluşan $3$ öbek bulunuyor. Bu $30$ topun her biri kırmızı veya beyaz renktedir. Aynı renkli topların ağırlıkları birbirine eşit olup bir kırmızı top bir beyaz toptan daha ağırdır. Bu öbeklerdeki topların toplam ağırlıkları $12$, $116$ ve $129$ ise bu $3$ öbekte toplam kaç tane kırmızı top vardır?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 17 \qquad\textbf{d)}\ 18 \qquad\textbf{e)}\ 19$

Bir tahtaya başlangıçta $1,2, \dots , 2025$ sayıları yazılmıştır. Her işlemde tahtada yazılı bulunan iki sayı silinip tahtaya bu iki sayının toplamı yazılıyor. $N$ işlem sonucunda tahtada toplamları $2025$ olan bir veya birkaç sayı bulunmuyorsa $N$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 405 \qquad\textbf{b)}\ 498 \qquad\textbf{c)}\ 507 \qquad\textbf{d)}\ 582 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$l_1$ ve $l_2$ birbirlerine paralel olan iki farklı doğru olsun. $l_1$ doğrusu üzerinde $P,R,S,T$ noktaları bu sırayla yer alan noktalar olsun. $l_2$ doğrusu üzerindeki $L$ ve $K$ noktaları $|LP|=|LR|$, $|KL|=|KR|$, $|SR|=|SK|$, $|TS|=|TK|$ ve $PL \parallel KT$ koşullarını sağlamaktadır. Buna göre, $s(\widehat{LRS})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100^{\circ} \qquad\textbf{b)}\ 110^{\circ} \qquad\textbf{c)}\ 120^{\circ} \qquad\textbf{d)}\ 130^{\circ} \qquad\textbf{e)}\ 140^{\circ}$

Bir tahtada hiçbiri $2025$ ten büyük olmayan $N$ farklı pozitif tam sayı vardır. Tahtadaki birbirinden farklı herhangi $a$ ve $b$ sayıları için $a-b$ sayısı $a+b$ sayısını bölmüyorsa $N$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 405 \qquad\textbf{b)}\ 506 \qquad\textbf{c)}\ 675 \qquad\textbf{d)}\ 836 \qquad\textbf{e)}\ 1024$

$x=\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}$ olmak üzere, $\dfrac{x^3-3x^2+x-2}{x^2-2x+2}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ -\sqrt2 \qquad\textbf{b)}\ -1 \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{B}$

$x=\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}=\sqrt{2+\sqrt{9+2\sqrt8}}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$

olup

$\dfrac{x^3-3x^2+x-2}{x^2-2x+2}=\dfrac{(x-1)^3-(2x+1)}{(x-1)^2+1}=\dfrac{(\sqrt{2})^3-2(\sqrt{2}+1)-1}{(\sqrt{2})^2+1}=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2-1}{2+1}=\dfrac{-3}{3}=-1$

bulunur.

$4 \times 4$ satranç tahtasının her birim karesine bir sayı, $2 \times 2$ boyutlarındaki her karede birbirine eşit iki sayı bulunacak şekilde yazılmıştır. Buna göre, bu satranç tahtasında en fazla kaç farklı sayı bulunabilir?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 13$

Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası veriliyor. $|AB|=|AD|=13$, $|BD|=10$ ve $C$ köşesinden $[AB]$ kenarına inilen yüksekliğin uzunluğu $16$ ise $[CD]$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{13}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{76}{9} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

$\dfrac {|CD|}{|AD|}=\dfrac{A(BCD)}{A(ABD)}=\dfrac{104-60}{60}=\dfrac{44}{60}=\dfrac{11}{15} = \dfrac{CD}{13} \Longrightarrow CD=\dfrac{143}{15}$.

Bir $a$ pozitif tam sayısı için, hem $a=m+n+ebob(m,n)+ekok(m,n)$ olacak şekilde $m$ ve $n$ pozitif tam sayıları, hem de $a=p^k$ olacak şekilde $p$ asal sayısı ve $k$ pozitif tam sayısı bulunuyorsa $a$ sayısına $\textit{güzel}$ diyelim. $2025$ ten küçük kaç güzel sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{A}$

$\operatorname{ebob}(m,n)=d$ olsun. $m=du$ ve $n=dv$ olacak şekilde aralarında asal $u,v$ pozitif tamsayıları vardır. Bu durumda $\operatorname{ekok}(m,n)=duv$ olacaktır. Yerine yazarsak, $$a=du+dv+d+duv=d(u+1)(v+1)$$ elde edilir. $a=p^k$ formatında olduğundan, $p$ tekse, $d, u+1, v+1$ tek olacağından $u$ ve $v$ çift olacaktır. Bu da aralarında asallık ile çelişir. $p=2$ olmalıdır. Yani $t\geq 0$ ve $r,s\geq 1$ olmak üzere, $d=2^t$, $u=2^r-1$ ve $v=2^s-1$ formatlarında olmalıdır. Bu durumda $a=2^k=2^{t+r+s}$ olacağından $k=t+r+s\geq 2$'dir. $k\geq 2$ olan herhangi bir $k$ için de $d=1$, $u=1$ ve $v=2^{k-1}-1$ seçilebileceğinden aradığımız güzel sayılar $k\geq 2$ olmak üzere $2^k$ formatındaki sayılardır. Bunlar da $$4,8,16,32,64,128,256,512,1024$$ olmak üzere $9$ tanedir.

$P(x)=2x^2-3ax+a-10$ ve $Q(x)=x^2-2ax+a^2-5$ polinomlarının her ikisinin de kökü olan bir gerçel sayı bulunmasını sağlayan $a$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -2 \qquad\textbf{b)}\ -1 \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 2$

Çözüm 1:

Cevap: $\boxed{E}$

$Q$ polinomunun köklerini hesaplayalım. $$Q(x)=0\iff x^2-2ax+a^2=5\iff x=a\pm \sqrt{5}$$ olacaktır. Bu köklerden birisinin $P$'nin de kökü olmasını istiyoruz. $$2(a\pm \sqrt{5})^2-3a(a\pm\sqrt{5})+a-10=-a^2+a(1\pm \sqrt{5})=0$$ $$\implies a(-a+1\pm \sqrt{5})=0\implies a=0,\quad 1\pm \sqrt{5}$$ elde edilir. Bu üç çözümün toplamı da $2$'dir.

Çözüm 2:

$P(x)=0$ ve $Q(x)=0$ ise $P(x)=2Q(x)$ olmalı.
$2x^2-3ax+a-10 = 2x^2 - 4ax+2a^2-10 \Longrightarrow ax -2a^2+a=a(x-(2a-1))=0$
$a=0$ ya da $x=2a-1$ olmalı.
$a=0$ durumunda polinomlar $P(x)=2x^2$ ve $Q(x)=x^2$ olur. $x=0$ katlı kök olarak ikisinde de ortaktır. Zaten $a=0$ durumu da cevaba etki etmeyeceği için bu durum hızlıca göz ardı edilebilirdi.

$x=2a-1$ durumu için $Q(x)= (x-a)^2-5=(a-1)^2-5=a^2-2a-4=0$ olur. Son denklemin gerçel kökleri vardır ($\Delta = 4 + 4\cdot 4 >0$) ve toplamları $2$ dir.

Bir masa üzerinde sırasıyla $55,60,65,70,75,80$ bilye içeren $6$ kutu vardır. Her işlemde en az $5$ bilye içeren bir kutu seçiliyor ve bu kutudan $5$ bilye alınıp diğer kutuların her birine birer bilye dağıtılıyor. Birkaç işlem sonucunda $N$ bilye içeren bir kutu elde edilebiliyorsa $N$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 385 \qquad\textbf{b)}\ 390 \qquad\textbf{c)}\ 395 \qquad\textbf{d)}\ 400 \qquad\textbf{e)}\ 405$

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=|BC|=8$ ve $|AC|=12$ olsun. Bu üçgenin $s(\widehat{BAC})$ açısının dış açıortayı ile $C$ noktası ve $[AB]$ kenarının orta noktasından geçen doğrunun kesişim noktası $D$ ise $|AD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{9\sqrt2}{4} \qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt2 \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt3 \qquad\textbf{e)}\ 4\sqrt3$

$a_1,a_2, \dots ,a_{2025}$ pozitif bileşik sayılar olmak üzere, $a_1+a_2+ \cdots +a_{2025}$ şeklinde gösterilemeyen en büyük tam sayı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8096 \qquad\textbf{b)}\ 8101 \qquad\textbf{c)}\ 8103 \qquad\textbf{d)}\ 8112 \qquad\textbf{e)}\ 8115$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{C}$

$n\geq 8104$ olsun. $a_3=a_4=\cdots=a_{2025}=4$ alırsak, $n=a_1+a_2+8092$ olacaktır ve $a_1+a_2=n-8092\geq 12$'dir. $a_1=10,9,8$ sayılara karşılık gelen $a_2\geq 2$'lerden en az biri asal olmamalıdır çünkü ardışık üç tane asal sayı yoktur. Dolayısıyla, $n\geq 8104$ ise $n$ sayısı istenilen formatta gösterilebilir. $n=8103$'ün gösterilemeyeceğini ispatlayalım. Aksini varsayalım ve gösteriminde $k$ adet $4$ olsun. $$8103=a_1+a_2+\cdots+a_{2025}\geq 4k+6(2025-k)=12150-2k\implies 2k\geq 12150-8103=4047\implies k\geq 2024$$ olacaktır. $k=2025$ ise $8103=2025\cdot 4=8100$ olmalıdır, çelişkidir. $k=2024$ ise genelliği bozmadan $a_1\neq 4$ olsun. $$8103=a_1+2024\cdot 4=8096+a_1\implies a_1=7$$ elde edilir ancak bu bir bileşik sayı olmadığından çelişki elde ederiz. Verilen formatta yazılamayan en büyük sayı $8103$'dür.

$x,y,z$ gerçel sayıları
\begin{align*}
(x-1)(y-2) &= 3 \\
(y-1)(z-2) &= 3 \\
(z-1)(x-2) &= 1
\end{align*}
denklem sistemini sağlıyorsa $x+y+z$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{19}{2} \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{14}{3} \qquad\textbf{d)}\ 0 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{A}$

$y$ ve $z$'yi birinci ve üçüncü denklemi kullanarak $y=\frac{2x+1}{x-1}$ ve $z=\frac{x-1}{x-2}$ olarak yazabiliriz. İkinci denklemde bunu yerine yazarsak, $$\frac{(3-x)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=3\implies (3-x)(x+2)=3(x-1)(x-2)\implies 2x^2-5x=0\implies x=0\quad\text{veya}\quad x=\frac{5}{2}$$ elde edilir.

$x=0$ ise $y=-1$ ve $z=\frac{1}{2}$ olacağından $x+y+z=-\frac{1}{2}$'dir.

$x=\frac{5}{2}$ ise $y=4$ ve $z=3$ bulunur. Buradan da $x+y+z=\frac{19}{2}$ elde edilir. $x+y+z$'nin alabileceği en büyük değer $\frac{19}{2}$'dir.

$33$ öğrencinin katıldığı bir satranç turnuvasında her öğrenci ikilisi arasında tam olarak bir maç yapılmıştır. Her maçta kazanana $1$, kaybedene $0$, berabere kalanların her birine $1/2$ puan veriliyorsa turnuvada tam olarak $7$ puan toplayan öğrenci sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 17 \qquad\textbf{e)}\ 18$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına inilen yüksekliğin ayağı $D$ olsun. $D$ noktasından $AB$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $E$ olsun. $CE$ ve $AD$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $|BE|=9$, $|AE|=16$ ve $|CD|=12$ ise $|AF|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 18$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed D$

$ABD$ üçgeninde Öklid'den $|DE|=\sqrt {9 \cdot 16 }=12=|CD|$.
$s(\widehat {BAD})=s(\widehat {BDE})=2\alpha$ dersek $s(\widehat {ECD})=\alpha$, $s(\widehat{EFA})=s(\widehat{CFD})=90^\circ - \alpha = s(\widehat{AEF})$.
Bu durumda $|AE|=|AF|=16$ olur.

$33^{33}$ sayısının, $8$ ile bölümünden kalanı $3$ olan kaç tane pozitif böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 289 \qquad\textbf{b)}\ 306 \qquad\textbf{c)}\ 450 \qquad\textbf{d)}\ 510 \qquad\textbf{e)}\ 578$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{E}$

$33^{33}=3^{33}\cdot 11^{33}$ olduğundan tüm pozitif bölenleri $3^k\cdot 11^m$ formatındadır. Bu sayının $8$'e bölümünden kalan $$3^k\cdot 11^m\equiv 3^{k+m}\equiv \begin{cases} 3&\text{eğer }k+m\text{ tek ise,}\\ 1&\text{eğer }k+m\text{ çift ise.}\end{cases}\pmod{8}$$ Dolayısıyla, $k+m$'nin tek olduğu $0\leq k,m\leq 33$ ikililerinin sayısını arıyoruz. $k$ çift, $m$ tek ise $17^2$ seçenek vardır. Simetriden, tam tersi durum için de $17^2$ seçenek vardır. Dolayısıyla, toplamda $2\cdot 17^2=578$ pozitif bölen vardır.

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $\dfrac{(a^2+3)(b^3+2)(a^4+9b^4)}{a^3b^3}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 48 \qquad\textbf{b)}\ 36\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 48\sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ 120 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{B}$

$$\dfrac{(a^2+3)(b^3+2)(a^4+9b^4)}{a^3b^3}\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{2a\sqrt{3}\cdot 3b\cdot 6a^2b^2}{a^3b^3}=36\sqrt{3}$$ olacaktır. Eşitlik durumu $(a,b)=(\sqrt{3},1)$ iken sağlanır.