Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 23

[matematikolimpiyati]

$P(x)=2x^2-3ax+a-10$ ve $Q(x)=x^2-2ax+a^2-5$ polinomlarının her ikisinin de kökü olan bir gerçel sayı bulunmasını sağlayan $a$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -2  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$Q$ polinomunun köklerini hesaplayalım. $$Q(x)=0\iff x^2-2ax+a^2=5\iff x=a\pm \sqrt{5}$$ olacaktır. Bu köklerden birisinin $P$'nin de kökü olmasını istiyoruz. $$2(a\pm \sqrt{5})^2-3a(a\pm\sqrt{5})+a-10=-a^2+a(1\pm \sqrt{5})=0$$ $$\implies a(-a+1\pm \sqrt{5})=0\implies a=0,\quad 1\pm \sqrt{5}$$ elde edilir.  Bu üç çözümün toplamı da $2$'dir.

[geo]

$P(x)=0$ ve $Q(x)=0$ ise $P(x)=2Q(x)$ olmalı.
$2x^2-3ax+a-10 = 2x^2 - 4ax+2a^2-10 \Longrightarrow ax -2a^2+a=a(x-(2a-1))=0$
$a=0$ ya da $x=2a-1$ olmalı.
$a=0$ durumunda polinomlar $P(x)=2x^2$ ve $Q(x)=x^2$ olur. $x=0$ katlı kök olarak ikisinde de ortaktır. Zaten $a=0$ durumu da cevaba etki etmeyeceği için bu durum hızlıca göz ardı edilebilirdi.

$x=2a-1$ durumu için $Q(x)= (x-a)^2-5=(a-1)^2-5=a^2-2a-4=0$ olur. Son denklemin gerçel kökleri vardır ($\Delta = 4 + 4\cdot 4 >0$) ve toplamları $2$ dir.