Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 03

[matematikolimpiyati]

Bir kutudaki topların her biri kırmızı, beyaz, siyah ve mavi renklerinden birine boyalıdır. Bu kutuya, kutudaki kırmızı top sayısı kadar kırmızı top ekleniyor ve bunun sonucunda kutudaki toplam top sayısı $\%20$ artıyor. Bundan sonra, kutuya kutudaki beyaz top sayısı kadar beyaz top ekleniyor ve bunun sonucunda kutudaki toplam top sayısı $\%25$ artıyor. Son olarak, kutuya kutudaki siyah top sayısı kadar siyah top ekleniyor ve bunun sonucunda kutudaki toplam top sayısı $\%30$ artıyor. Buna göre, başlangıçta kutuda bulunan topların yüzde kaçı mavidir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ 25$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

Topların sayısını renklerin baş harfi ile gösterelim.
Sorunun daha genel halini çözeceğiz.
$k+b+s+m=T$, $\dfrac{k}{T}=x$, $\dfrac{b}{T+k}=y$, $\dfrac{s}{T+k+b}=z$.

Oranların hepsine $1$ ekleyelim.
$\dfrac{T+k}{T}=1+x$, $\dfrac{T+k+b}{T+k}=1+y$, $\dfrac{T+k+b+s}{T+k+b}=1+z$

Şimdi de hepsini çarpalım.
$\dfrac{T+k+b+s}{T}=(1+x)(1+y)(1+z)$

$\dfrac{T+T-m}{T} =(1+x)(1+y)(1+z) \Longrightarrow \dfrac mT = 2-(1+x)(1+y)(1+z)$

$\dfrac mT = 2-\dfrac {120}{100}\cdot \dfrac {125}{100} \cdot \dfrac {130}{100}=2-\dfrac{195}{100}=\dfrac {5}{100}$

[geo]

Topların sayısını renklerin baş harfi ile gösterelim.

$\dfrac{k}{k+b+s+m}=\dfrac 15$, $\dfrac{b}{2k+b+s+m}=\dfrac 14$, $\dfrac{s}{2k+2b+s+m}=\dfrac{3}{10}$.

$\begin{array}{rcl}
4k &=& b + s + m \\
3b &=& 2k + s + m\\
7s &=& 6k+6b+3m
\end{array}$

$4k-3b = b-2k \Longrightarrow 6k = 4b$.

$3\cdot 3b - 7s = 3(2k+s+m)-(6k+6b+3m)=3s-6b \Longrightarrow 15b = 10s$.

$b=30p$ dersek $k=20p$ , $s=45p$.
İlk denklemde yerine yazarsak $80p = 30p+45p+m \Longrightarrow m=5p$.

$\dfrac{m}{k+b+s+m}=\dfrac{5p}{100p}=\dfrac 5{100}$.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Problem yüzde hesabı olduğu için torbada bulunan topların sayısına $100$ diyelim. Verilen bilgilerle,

$100\cdot \dfrac{20}{100} = 20$ kırmızı bilye vardır.
$120\cdot \dfrac{25}{100} = 30$ beyaz bilye vardır.
$150\cdot \dfrac{30}{100} = 45$ siyah bilye vardır.

O halde mavi bilye sayısı $100 - 20 - 30 - 45 = 5$ olur. Mavilerin başlangıçtaki oranı $\dfrac{5}{100} = \%5$ bulunur.