Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 10

[matematikolimpiyati]

Bir masa üzerindeki taşların bazıları kırmızı, bazıları beyaz renktedir ve kırmızı taşların sayısı beyaz taşların sayısından bir fazladır. Her taşın ağırlığı $1$, $15$ veya  $50$ gramdır. Beyaz taşların toplam ağırlığı $B$ ve kırmızı taşların toplam ağırlığı $K$ olsun. $B>K$ ise $B-K$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[vedatde]

Cevap: $\boxed{E}$

Kırmızı ve beyaz taşların sayısı sırasıyla $k_1 $,$k_2$,$k_3$,$b_1$,$b_2$,$b_3$ olsun. $$b_1+b_2+b_3=k_1+k_2+k_3-1.$$ $B-K>0$ olduğundan $$b_1+15b_2+50b_3-k_1-15k_2-  50k_3>0,$$ $$\implies (b_1+  b_2+  b_3 )-(k_1+  k_2+  k_3 )+14(b_2-k_2 )+49(b_3-k_3 )>0$$ $$\implies -1+14(b_2-k_2)+49(b_3-k_3 )>0$$ $$\implies -1+7[2b_2-2k_2+7b_3-7k_3] >0 $$ elde edilir. Son yazılan ifadenin en küçük pozitif değeri $ 2b_2-2k_2+7b_3-7k_3=1$ iken $B-K=7-1= 6>0$ durumunda oluşur.

Örneğin  $ b_2-k_2=4 $ ve $ b_3-k_3=-1 $ durumunda $-1+56-49=6>0 $ olacaktır. $B-K$ sayısının alabileceği en küçük pozitif değeri $ 6  $ olmaktadır.