Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 06

[matematikolimpiyati]

Kaç $n$ tam sayısı için $\dfrac{n^2-111^2}{n+11}$ ifadesi bir tam sayıdır?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 36  \qquad\textbf{d)}\ 48  \qquad\textbf{e)}\ 66$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$n+11\mid n^2-111^2$ olduğundan $$n+11\mid n^2-11^2-111^2+11^2\iff n+11\mid 111^2-11^2=100\cdot 122\iff n+11\mid 2^3\cdot 5^2\cdot 61$$ olacaktır. $n+11$'in alabileceği $4\cdot 3\cdot 2=24$ pozitif böleni vardır. Tüm tamsayı bölenlerin sayısı $2\cdot 24=48$'dir.