Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 21

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası veriliyor. $|AB|=|AD|=13$, $|BD|=10$ ve $C$ köşesinden $[AB]$ kenarına inilen yüksekliğin uzunluğu $16$ ise $[CD]$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{13}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{76}{9}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[yusufipek]

$A(ABC)=\dfrac {13.16}{2}=104$ ve $A(ABD)=\dfrac {10.12}{2}=60$ olup, $ABD$ üçgeninde $[AD]$ kenarına ait yükseklik uzunluğu $\dfrac{120}{13}$ bulunur. Ayrıca $A(BDC)=104-60=44$ olup $44=\dfrac {\dfrac {120}{3}.|CD|}{2}$ $\Rightarrow |CD|=\dfrac {143}{15}$ olarak bulunur. Böylece doğru yanıt $ \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$ seçeneğidir.

[geo]

$\dfrac {|CD|}{|AD|}=\dfrac{A(BCD)}{A(ABD)}=\dfrac{104-60}{60}=\dfrac{44}{60}=\dfrac{11}{15} = \dfrac{CD}{13} \Longrightarrow CD=\dfrac{143}{15}$.