Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 26

[matematikolimpiyati]

$a_1,a_2, \dots ,a_{2025}$ pozitif bileşik sayılar olmak üzere, $a_1+a_2+ \cdots +a_{2025}$ şeklinde gösterilemeyen en büyük tam sayı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8096  \qquad\textbf{b)}\ 8101  \qquad\textbf{c)}\ 8103  \qquad\textbf{d)}\ 8112  \qquad\textbf{e)}\ 8115$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$n\geq 8104$ olsun. $a_3=a_4=\cdots=a_{2025}=4$ alırsak, $n=a_1+a_2+8092$ olacaktır ve $a_1+a_2=n-8092\geq 12$'dir. $a_1=10,9,8$ sayılara karşılık gelen $a_2\geq 2$'lerden en az biri asal olmamalıdır çünkü ardışık üç tane asal sayı yoktur. Dolayısıyla, $n\geq 8104$ ise $n$ sayısı istenilen formatta gösterilebilir. $n=8103$'ün gösterilemeyeceğini ispatlayalım. Aksini varsayalım ve gösteriminde $k$ adet $4$ olsun. $$8103=a_1+a_2+\cdots+a_{2025}\geq 4k+6(2025-k)=12150-2k\implies 2k\geq 12150-8103=4047\implies k\geq 2024$$ olacaktır. $k=2025$ ise $8103=2025\cdot 4=8100$ olmalıdır, çelişkidir. $k=2024$ ise genelliği bozmadan $a_1\neq 4$ olsun. $$8103=a_1+2024\cdot 4=8096+a_1\implies a_1=7$$ elde edilir ancak bu bir bileşik sayı olmadığından çelişki elde ederiz. Verilen formatta yazılamayan en büyük sayı $8103$'dür.