Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 19

[matematikolimpiyati]

$x=\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}$ olmak üzere, $\dfrac{x^3-3x^2+x-2}{x^2-2x+2}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ -\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2$

[yusufipek]

Cevap: $\boxed{B}$

$x=\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}=\sqrt{2+\sqrt{9+2\sqrt8}}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$

olup

$\dfrac{x^3-3x^2+x-2}{x^2-2x+2}=\dfrac{(x-1)^3-(2x+1)}{(x-1)^2+1}=\dfrac{(\sqrt{2})^3-2(\sqrt{2}+1)-1}{(\sqrt{2})^2+1}=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2-1}{2+1}=\dfrac{-3}{3}=-1$

bulunur.