Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 11

[matematikolimpiyati]

$a,b,c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $a^2+4b^2+c^2=2ab+ac+2bc$ eşitliği sağlanıyorsa $\dfrac{a+b}{c}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac52$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen ifadeyi düzenlersek, $$2a^2+8b^2+2c^2-4ab-2ac-4bc=(a-2b)^2+(a-c)^2+(c-2b)^2=0$$ olacaktır. Tek çözüm $a=c=2b$'dir. Buradan $\frac{a+b}{c}=\frac{2b+b}{2b}=\frac{3}{2}$ elde edilir.