Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $s(\widehat{ABC})=90^\circ$, $|AD|=|DC|=|CA|=2$ ve $|AB|=1$ ise, $|BD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad \textbf{b)}\ \sqrt{6} \qquad \textbf{c)}\ \sqrt{7} \qquad \textbf{d)}\ 2\sqrt{2} \qquad \textbf{e)}\ 3$

$A$ ve $B$ rakamları için $\overline{19AB}$ ve $\overline{20BA}$ sayıları $4$ basamaklı sayılar olmak üzere, $\overline{19AB}$ yılında doğan bir kişi $\overline{20BA}$ yılında $\overline{BA}$ yaşında olduğuna göre $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad \textbf{b)}\ 6 \qquad \textbf{c)}\ 7 \qquad \textbf{d)}\ 8 \qquad \textbf{e)}\ 11$

$x^3-x^2+3x-10=0$ denkleminin farklı $x$ gerçel çözümlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -2 \qquad \textbf{b)}\ -1 \qquad \textbf{c)}\ 0 \qquad \textbf{d)}\ 1 \qquad \textbf{e)}\ 2$

Bir öğretmen ve $N$ öğrencinin katıldığı bir satranç turnuvasında her öğrenci ikilisi kendi aralarında tam olarak bir, öğretmen ise bazı öğrencilerle birer maç yapmıştır. Turnuvada yapılan toplam maç sayısı $61$ olduğuna göre, öğretmenin bu turnuvada yaptığı maç sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad \textbf{b)}\ 4 \qquad \textbf{c)}\ 5 \qquad \textbf{d)}\ 6 \qquad \textbf{e)}\ 7$

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $[AB]$ kenarı üzerinde $K$ ve $L$ noktaları $3|AK|=4|KL|=12|LB|$ olacak şekilde alınıyor. $[CD]$ kenarının orta noktası $M$ olsun. $MK$ ve $ML$ doğrularının $AC$ doğrusu ile kesişim noktaları sırasıyla $S$ ve $T$ olmak üzere, $\dfrac{|AC|}{|ST|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{22}{3} \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{33}{5} \qquad \textbf{c)}\ \dfrac{44}{7} \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{55}{8} \qquad \textbf{e)}\ \dfrac{77}{9}$

$n+n^2+n^3+n^4$ sayısının $7$ ile tam bölünmesini sağlayan kaç $1\le n\le 2026$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 288 \qquad \textbf{b)}\ 578 \qquad \textbf{c)}\ 868 \qquad \textbf{d)}\ 1008 \qquad \textbf{e)}\ 1158$

$x$ ve $y$ rasyonel sayıları $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ denklemini sağlıyorsa, $x$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{10}{3} \qquad \textbf{c)}\ 4 \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{13}{4} \qquad \textbf{e)}\ \dfrac{8}{3}$

Aslı ve Zehra sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Aslı ilk hamlesinde duvardaki $n\times n$ bir satranç tahtasının bazı birim karelerini kırmızı, kalanlarını ise mavi renge boyayarak bir resim çiziyor. Bundan sonra Zehra başlamak üzere sırası gelen oyuncu satranç tahtasının bir birim karesini seçiyor, seçilmiş birim karenin rengini kırmızıysa mavi, maviyse kırmızı yaparak yeni bir resim oluşturuyor. Kurallara göre, aynı resim iki kez oluşturulamıyor ve hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Bu oyun $n=11, 22, 34, 100$ değerleri için birer kez oynanırsa Aslı bu oyunların kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad \textbf{b)}\ 1 \qquad \textbf{c)}\ 2 \qquad \textbf{d)}\ 3 \qquad \textbf{e)}\ 4$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ olsun. $[AC]$ kenarı üzerinde yer alan bir $E$ noktası için $AD$ ve $BE$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $DEF$ üçgeninin alanı $16$ ve $ABF$ üçgeninin alanı $44$ ise, $AEF$ üçgeninin alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad \textbf{b)}\ 12 \qquad \textbf{c)}\ 14 \qquad \textbf{d)}\ 16 \qquad \textbf{e)}\ 18$

$A$, $B$, $C$ rakamlar ve $\overline{A3B}$ ve $\overline{3C9}$ sayıları üç basamaklı sayılar olmak üzere, $\overline{A3B}$ ve $\overline{3C9}$ sayılarının farkı $55$ ile bölünüyorsa, $A+B+C$ toplamı kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad \textbf{b)}\ 1 \qquad \textbf{c)}\ 2 \qquad \textbf{d)}\ 3 \qquad \textbf{e)}\ 4$

Beyaz kedinin su içme hızı siyah kedininkinin $5$ katı, beyaz kedinin süt içme hızı ise siyah kedininkinin $3$ katıdır. İlk gün bu iki kedinin önüne bir kase su ve bir tabak süt konuyor. Aynı anda beyaz kedi suyu, siyah kedi ise sütü içmeye başlıyor. Beyaz kedi kasedeki suyu bitirip siyah kediyle birlikte tabaktaki sütü içmeye başlıyor ve toplam $18$ dakikalık süreç sonucunda tabaktaki süt de bitiyor. İkinci gün kedilerin önüne ilk gündekiyle aynı miktarda su içeren bir kase ve ilk gündekiyle aynı miktarda süt içeren bir tabak konuyor. Bu sefer aynı anda beyaz kedi sütü, siyah kedi ise suyu içmeye başlıyor. Beyaz kedi tabaktaki sütü bitirip siyah kediyle birlikte kasedeki suyu içmeye başlıyor ve toplam $N$ dakikalık süreç sonucunda kasedeki su da bitiyor. Buna göre, $N$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad \textbf{b)}\ 16 \qquad \textbf{c)}\ 18 \qquad \textbf{d)}\ 20 \qquad \textbf{e)}\ 22$

$18$ takımın katıldığı bir futbol turnuvasında her takım ikilisi arasında tam olarak bir maç yapılmıştır. Her maçta kazanan takıma $3$, kaybeden takıma $0$, berabere kalan takımlardan her birine $1$ puan veriliyor. En az $26$ puan kazanan takımlara başarılı takım diyelim. Başarılı takım sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad \textbf{b)}\ 11 \qquad \textbf{c)}\ 13 \qquad \textbf{d)}\ 15 \qquad \textbf{e)}\ 17$

Bir $ABC$ dik üçgeninde $s(\widehat{ACB})=90^\circ$, $|BC|=30$ ve $|AC|=60$ olsun. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ ve $C$ noktalarında teğet olan doğruların kesişim noktası $D$ olsun. $BD$ ve $AC$ doğrularının kesişim noktası $E$ olmak üzere, $|EC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad \textbf{b)}\ 9 \qquad \textbf{c)}\ 10 \qquad \textbf{d)}\ 12 \qquad \textbf{e)}\ 15$

$326^{p-20}-220^{p-26}$ sayısının $p$ ile bölünmesini sağlayan kaç farklı $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Anneleri son üç senenin başında çocukları Ayşe ile Zehra'ya yaşlarıyla doğru orantılı sayıda şeker vermiştir. Anneleri her sene verdiği toplam şeker miktarını bir önceki seneye göre yüzde $20$ artırmıştır. Ayşe, Zehra'dan hem $2024$ yılında hem de $2025$ yılında $700$ şeker fazla aldıysa, $2026$ yılında Ayşe Zehra'dan kaç şeker fazla almıştır?

$\textbf{a)}\ 700 \qquad \textbf{b)}\ 720 \qquad \textbf{c)}\ 750 \qquad \textbf{d)}\ 770 \qquad \textbf{e)}\ 780$

$S=\{5,6,7,\ldots,n\}$ kümesindeki sayıların her biri kırmızı veya mavi renklerden birine boyanmıştır. $S$ kümesindeki aynı renkli herhangi iki sayının çarpımı $S$ kümesindeyse bu sayılardan farklı renktedir. $S$ kümesindeki herhangi bir sayının karesi $S$ kümesindeyse bu sayıdan farklı renktedir. Buna göre, $n$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 624 \qquad \textbf{b)}\ 719 \qquad \textbf{c)}\ 1224 \qquad \textbf{d)}\ 4095 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$[AB]$ kenarının uzunluğu $3$ birim ve $[BC]$ kenarının uzunluğu $6$ birim olan bir $ABCD$ dikdörtgeni ile merkezi $A$ ve yarıçapı $6$ birim olan bir çember verilmiştir. Bu çemberin içinde fakat bu dikdörtgenin dışında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

$\textbf{a)}\ 33\pi-\dfrac{9\sqrt{3}}{2} \qquad \textbf{b)}\ 36\pi-3\sqrt{3} \qquad \textbf{c)}\ 36\pi-\dfrac{16\sqrt{3}}{3} \qquad \textbf{d)}\ 33\pi-9 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$p^2+2q^2=r^2$ denklemini sağlayan kaç farklı $(p,q,r)$ sıralı asal sayı üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad \textbf{b)}\ 1 \qquad \textbf{c)}\ 2 \qquad \textbf{d)}\ 3 \qquad \textbf{e)}\ 4$

$$x^2-2x+\dfrac{16}{x^2}-\dfrac{8}{x}=7$$
denklemini sağlayan farklı $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ 5$

$5$ satır ve $8$ sütundan oluşan bir satranç tahtasının her birim karesine birer gerçel sayı yazılmıştır. Aynı satırda bulunan herhangi iki sayı birbirlerinden farklıdır ve her satır için bu satırda bulunan ve diğer hiçbir satırda bulunmayan tam olarak $3$ sayı vardır. Buna göre, bu tahtaya en fazla kaç farklı sayı yazılmış olabilir?

$\textbf{a)}\ 20 \qquad \textbf{b)}\ 23 \qquad \textbf{c)}\ 25 \qquad \textbf{d)}\ 27 \qquad \textbf{e)}\ 30$

Bir $ABC$ üçgeninde $s(\widehat{BAC})=65^\circ$ ve $s(\widehat{ABC})=40^\circ$ olsun. $[BC$ ışını üzerinde ve $[BC]$ kenarı dışında bir $D$ noktası ile $[AC]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası $\dfrac{|AB|}{|BC|}=\dfrac{|ED|}{|CD|}$ olacak şekilde alınıyor. Buna göre, $s(\widehat{EDC})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10^\circ \qquad \textbf{b)}\ 15^\circ \qquad \textbf{c)}\ 20^\circ \qquad \textbf{d)}\ 25^\circ \qquad \textbf{e)}\ 35^\circ$

$m$ pozitif tam sayısı $m+22$ sayısının iki pozitif böleninin toplamına ve $n$ pozitif tam sayısı $n+24$ sayısının iki pozitif böleninin toplamına eşitse $m+n$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 210 \qquad \textbf{b)}\ 220 \qquad \textbf{c)}\ 230 \qquad \textbf{d)}\ 240 \qquad \textbf{e)}\ 250$

$mn>34m+123n$ eşitsizliğini sağlayan $(m,n)$ pozitif tam sayı ikililerine güzel ikili diyelim. $K$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her güzel ikilinin $K$ sayısından küçük olmayan en az bir elemanı varsa, $K$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 89 \qquad \textbf{b)}\ 123 \qquad \textbf{c)}\ 140 \qquad \textbf{d)}\ 158 \qquad \textbf{e)}\ 162$

Bir masa üzerinde biri $31$, biri $32$, $\ldots$, biri $47$ top içeren toplam $17$ kutu bulunmaktadır. Her işlemde en az $16$ top içeren bir kutu seçiliyor ve bu kutudan diğer kutuların her birine birer top aktarılıyor. Birkaç işlem sonucunda $N$ top içeren bir kutu elde edilebiliyorsa, $N$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 423 \qquad \textbf{b)}\ 527 \qquad \textbf{c)}\ 543 \qquad \textbf{d)}\ 565 \qquad \textbf{e)}\ 647$

Kenar uzunluğu $1$ olan bir $ABCD$ karesi veriliyor. Merkezi $A$, yarıçapı $1$ olan ve karenin iç bölgesinde yer alan çeyrek çember $C_1$ olsun. Merkezi $B$, yarıçapı $1$ olan ve karenin iç bölgesinde yer alan çeyrek çember $C_2$ olsun. $C_1$ çemberine içten teğet, $C_2$ çemberine dıştan teğet ve karenin $[AD]$ kenarına teğet olan çemberin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{8} \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{1}{5\sqrt{2}} \qquad \textbf{c)}\ \dfrac{1}{7} \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{1}{4\sqrt{3}} \qquad \textbf{e)}\ \dfrac{1}{6}$

$N=99, 100, 101, 102, 103$ sayılarından kaç tanesi için $a^2+34a+N=b^2$ denkleminin en az bir tane $(a,b)$ tam sayı çözümü bulunur?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ 5$

$x$ ve $y$ gerçel sayıları, $x^2+5y^2+4xy+2x-2y=-10$ denklemini sağlıyorsa $x+y$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ -4 \qquad \textbf{b)}\ -2 \qquad \textbf{c)}\ 0 \qquad \textbf{d)}\ 2 \qquad \textbf{e)}\ 4$

Bir düzgün $101$-genin her köşesine birer gerçel sayı yazılmıştır. Yazılan sayıların en küçüğü $1$ ve en büyüğü $M$ olsun. Bu $101$-genin her kenarına, bu kenarın uç noktalarında bulunan iki sayının toplamı yazılıyor. Bu $101$-genin kenarlarına yazılan en büyük ve en küçük sayının farkı $1$ ise, $M$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad \textbf{b)}\ 34 \qquad \textbf{c)}\ 51 \qquad \textbf{d)}\ 67 \qquad \textbf{e)}\ 101$

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=|AC|$ ve $s(\widehat{BAC})=36^\circ$ olsun. $ABC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $P$ noktası için $s(\widehat{APB})=108^\circ$ ve $s(\widehat{APC})=90^\circ$ olsun. $AP$ ile $BC$ doğrularının kesişim noktası $D$ olmak üzere, $\dfrac{|CD|}{|BD|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt{2} \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ \sqrt{5} \qquad \textbf{d)}\ 3 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$p^2+q+5$ ve $21p-q^2+19$ sayılarının her ikisinin de asal sayı olmasını sağlayan kaç farklı $(p,q)$ sıralı asal sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ 5$

Bir $a_1, a_2, \ldots$ gerçel sayı dizisi, $a_1=1$ ve her $n\ge 1$ sayısı için
$$3na_{n+1}^2+(4n+4)a_n^2=(7n+3)a_na_{n+1}$$
eşitliğini sağlıyor. Buna göre, $a_{100}$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100 \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{1600}{27} \qquad \textbf{c)}\ \dfrac{729}{16} \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{1143}{32} \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Aslı aklından $20$ basamaklı bir sayı tutuyor ve Zehra'ya bu sayının her rakamının ya $1$ ya da $2$ olduğunu söylüyor. Zehra $N$ tane $20$ basamaklı sayıyı bir kağıda yazıp Aslı'ya iletiyor. Zehra'nın amacı yazdığı sayılardan en az biri ile Aslı'nın seçtiği sayının en az $11$ basamağının aynı olmasıdır. $N$ sayısının en küçük hangi değeri için Zehra bunu garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad \textbf{b)}\ 4 \qquad \textbf{c)}\ 6 \qquad \textbf{d)}\ 8 \qquad \textbf{e)}\ 10$