Sayfa: 1 2 3 [4] 5 6 ... 10
31
« Son İleti Gönderen: geo Ağustos 02, 2026, 05:16:33 ös »
$a_1, a_2, a_3, \ldots$ dizisi $1$'den büyük pozitif tam sayılardan oluşan bir sonsuz dizi olsun. Her $n$ pozitif tam sayısı için; $a_{n+1}$ sayısı, her $i = 1, 2, \ldots, n$ için $\operatorname{ebob}(a_{n+1}, a_i) > 1$ koşulunu sağlayan ve $a_n$ sayısından büyük olan en küçük pozitif tam sayıya eşittir. Öyle $T$ ve $L$ pozitif tam sayılarının bulunduğunu gösteriniz ki, her $n$ pozitif tam sayısı için
$$a_{n+T} = a_n + L$$
koşulu sağlanır.
($\operatorname{ebob}(x,y)$ ile $x$ ve $y$ sayılarının en büyük ortak böleni gösterilmektedir.)
32
« Son İleti Gönderen: geo Ağustos 02, 2026, 05:15:46 ös »
Tüm pozitif gerçel sayıların kümesi $\mathbb{R}_{>0}$ olsun. Her $x, y \in \mathbb{R}_{>0}$ için
$$\sqrt{\dfrac{x^2 + f(y)^2}{2}} \geq \dfrac{f(x)+y}{2} \geq \sqrt{x f(y)}$$
koşulunu sağlayan tüm $f : \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ fonksiyonlarını bulunuz.
33
« Son İleti Gönderen: geo Ağustos 02, 2026, 05:14:25 ös »
Shan-Yu ve Mulan bir oyun oynuyor. $\theta$ açısı $0^\circ < \theta < 180^\circ$ olacak şekilde bir açıdır ve her iki oyuncu tarafından da bilinmektedir. Başlangıçta, Shan-Yu kağıttan istediği ölçülerde bir $\mathcal{T}$ üçgeni kesiyor. Daha sonra, oyuncular tekrar tekrar aşağıdaki hamleleri uyguluyor:
$\bullet$ Eğer $\mathcal{T}$ üçgeninin açılarından en az biri $\theta$ ya eşitse, oyun bitiyor ve Mulan kazanıyor.
$\bullet$ Aksi halde, Mulan $\mathcal{T}$ üçgeninin çevresi üzerinde, köşelerden farklı bir $P$ noktası seçiyor. Daha sonra $P$ noktasından bu noktanın karşısındaki köşeye kadar $\mathcal{T}$ üçgenini düz bir şekilde keserek $\mathcal{T}$ yi iki üçgene ayırıyor.
$\bullet$ Shan-Yu bu iki üçgenden istediği birini çöpe atıyor. Geriye kalan üçgen yeni $\mathcal{T}$ üçgeni oluyor.
$\theta$ açısının hangi değerleri için, Shan-Yu nasıl oynarsa oynasın Mulan sonlu hamle sonucunda oyunu kazanmayı garantileyebilir?
34
« Son İleti Gönderen: geo Ağustos 02, 2026, 05:13:34 ös »
$n$ verilmiş bir pozitif tam sayı olsun. Liu Bang ve Xiang Yu $1$ uzunluğunda bir çubuğu kendi aralarında bölüşmek istiyor. Başlangıçta Liu çubuk üzerinde en fazla $n$ tane nokta işaretliyor ve bundan sonra Xiang çubuk üzerinde en fazla $n$ tane nokta işaretliyor. İşaretlenmiş noktalar birbirlerinden farklı olmalıdır. Daha sonra bu çubuk tüm işaretli noktalardan kesilerek parçalara ayrılıyor. Sonrasında, oyuncular sırayla hamle yapıyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu daha önce alınmamış parçalardan birini alıyor. İlk hamleyi Liu yapıyor. Her oyuncunun amacı, aldığı parçaların uzunluklarının toplamının mümkün olduğunca fazla olmasıdır.
$n$ sayısı verildiğinde, Xiang nasıl oynarsa oynasın Liu aldığı parçaların uzunluklarının toplamının en az $c$ olmasını garantileyebiliyorsa, $c$ sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.
35
« Son İleti Gönderen: geo Ağustos 02, 2026, 05:12:28 ös »
Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $M$ ve $N$ olsun. Sırasıyla $BMC$ ve $BNC$ üçgenlerinin iç bölgelerinde yer alan $K$ ve $L$ noktaları, $K$ noktası $ABL$ üçgeninin iç bölgesinde ve $L$ noktası $AKC$ üçgeninin iç bölgesinde yer alacak şekilde seçiliyor.
$$\angle KBA = \angle ACL, \quad \angle LBK = \angle LNC \quad \text{ve} \quad \angle LCK = \angle BMK$$
olduğu verilmiştir. $AKL$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $|OM| = |ON|$ olduğunu gösteriniz.
36
« Son İleti Gönderen: geo Ağustos 02, 2026, 05:11:03 ös »
Bir tahtaya her biri $1$'den büyük olan $2026$ tane tam sayı yazılmıştır ve bu sayılar birbirinden farklı olmak zorunda değildir. Confucius her hamlesinde tahtanın farklı yerlerine yazılmış $m>1$ ve $n>1$ tam sayılarını seçiyor ve bu sayıları silip yerlerine
$$\operatorname{ebob}(m,n) \quad \text{ve} \quad \dfrac{\operatorname{ekok}(m,n)}{\operatorname{ebob}(m,n)}$$
tam sayılarını yazıyor. Confucius hamle yapabildiği sürece hamle yapmaya devam ediyor.
(a) Confucius hamlelerini nasıl yaparsa yapsın sonlu hamle sonucunda tahtadaki sayıların biri dışında hepsinin $1$ ve birinde de $1$'den büyük olan bir $M$ sayısına eşit olacağını gösteriniz.
(b) $M$ sayısının değerinin Confucius'un hamlelerinden bağımsız olduğunu gösteriniz.
($\operatorname{ebob}(x,y)$ ile $x$ ve $y$ sayılarının en büyük ortak böleni, $\operatorname{ekok}(x,y)$ ile $x$ ve $y$ sayılarının en küçük ortak katı gösterilmektedir.)
37
Tanımlayalım: h(x)=f(x)-e$^{x}$. h(x)=0 denkleminin çözüm kümesindeki elemanlar iki fonksiyonun $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ düzlemindeki kesişim noktalarına karşılık gelen köklerdir. Pertürbasyon (başka bir fonksiyon ile toplayıp değiştirme) uygulanmış fonksiyonlar f$_{\varphi}$(x)=f(x)+$\varphi$(x) ve g$_{\psi}$(x)=e$^{x}$+$\psi$(x) olsun. Ayrıca $\Delta$(x)=$\psi$(x)-$\varphi$(x) tanımlansın. Bu durumda pertürbe edilmiş kesişim denklemi h(x)=$\Delta$(x) şeklini alır. ||$\varphi$||$_{\infty}\le\varepsilon_{\varphi}$ ve ||$\psi$||$_{\infty}\le\varepsilon_{\psi}$ olduğundan üçgen eşitsizliğinden ||$\Delta$||$_{\infty}$=||$\psi$-$\varphi$||$_{\infty}\le$||$\psi$||$_{\infty}$+||$\varphi$||$_{\infty}\le\varepsilon_{\varphi}+\varepsilon_{\psi}$ elde edilir. Şimdi iki olasılık vardır. **I. Olasılık:** h(x)=0 denkleminin hiçbir kökü çift mertebeli değildir; başka bir deyişle bütün kökler tek mertebelidir (basit kökler bunun özel hâlidir). Bu durumda kökler yeterince küçük sınırlı pertürbasyonlar altında korunur. Basit kökler için bu sonuç Örtük Fonksiyon Teoremi'nin bir sonucudur. Dolayısıyla ($\varepsilon_{\varphi},\varepsilon_{\psi}$)$\neq$(0,0) olacak pertürbasyon tolerans çiftleri bulunabilir. **II. Olasılık:** En az bir çift mertebeli kök vardır; yani $\exists x_{0}\in\mathbb{R}$ için h(x$_0$)=h'(x$_0$)=$\cdots$=h$^{(2k-1)}$(x$_0$)=0 ve h$^{(2k)}$(x$_0$)$\neq0$ olacak biçimde kökün mertebesi çift sayıdır (2,4,6,$\ldots$). Bu durumda uygun işaretli ve normu istenildiği kadar küçük bir pertürbasyon seçilerek kök sayısı değiştirilebilir. Dolayısıyla bu durumda kesişim sayısının değişmemesini garanti eden tek pertürbasyon tolerans çifti ($\varepsilon_{\varphi},\varepsilon_{\psi}$)=(0,0)'dır. Verilen grafik ölçekli olmadığından ve kesişim noktalarının mertebeleri belirtilmediğinden bu iki olasılıktan hangisinin gerçekleştiği belirlenemez. Bu nedenle soru mevcut hâliyle tek bir cevaba sahip değildir; başka bir deyişle soruda verilen bilgiler çözümü belirlemek için yeterli değildir.
38
f, g, $\varphi$, $\psi$ : $\mathbb{R}$ $\to \mathbb{R}$, f(x) polinom fonksiyonu ve g(x) = e$^{x}$, f$_{\varphi}$(x)=f(x)+$\varphi$(x) ve g$_{\psi}$(x) = g(x)+$\psi$(x) sırasıyla pertürbe edilmiş f ve g fonksiyonları olmak üzere ($\varphi$ $\in $ C$_{b}$($\mathbb{R}$)) $\land $ ($\psi$ $ \in $ C$_{b}$($\mathbb{R}$)) $\land $ ($\left|\left|\varphi\right|\right|$$_{\infty }$ $\le \varepsilon$$_{\varphi}$) $\land $ ($\left|\left|\\\psi\right|\right|$$_{\infty }$ $\le $ $\varepsilon_{\psi}$) olsun. Buna göre f ile g'nin yalnızca birinin ya da her ikisinin aynı anda pertürbe edilmesi durumunda iki fonksiyonun $\mathbb{R} $ × $\mathbb{R}$ düzleminde kesişim sayısının değişmemesini garanti eden ($\varepsilon_{\varphi}$,$\varepsilon_{\psi}$) çiftlerini belirleyiniz.
(Fonksiyon grafikleri ektedir ve resim ölçekli değildir. Kesişim noktaları yuvarlak içine alınarak gösterilmiştir.)
39
« Son İleti Gönderen: geo Temmuz 18, 2026, 01:19:00 ös »
ラングレーの問題にトドメをさす!―4点の作る小宇宙完全ガイド Putting the final blow to Langley's problem!—A complete guide to the microcosm created by 4 points Hiroshi Saito adındaki amatör matematikçinin bu konuda bir kitabı var: https://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4768703402/tsujimotter07-22/?dplnkId=9879d6fe-b5ff-4e28-9bcf-e6c140c66b97
40
« Son İleti Gönderen: geo Temmuz 18, 2026, 12:32:35 ös »
Çok hoş bir çözüm gibi durmasa da, bir model ailesine ait bir çözüm biliniyorsa diğer sorularının çözümleri ondan türetilebilir.
Mesela, Model x.j sorusu sorulsun ve Model x.i nin çözümü bilinsin.
Model x.j'deki bilinmeyen açının derecesine eşit olacak şekilde bir nokta alıp, Model x.i'deki bilgileri kullanırsak aldığımız nokta ile üçgenin köşesinin çakışık olduğu sonucu çıkar.
Sayfa: 1 2 3 [4] 5 6 ... 10
|
Son İletiler