Sayfa: 1 2 3 [4] 5 6 ... 10
31
Cevap: $\boxed{C}$
$a_1\neq 0$ ve $a_1,a_2,\dots,a_k$ rakamlar olmak üzere $n=\overline{a_1a_2\dots a_k}$ olsun. Bizden $2n-276=a_1a_2\cdots a_k$ olması isteniliyor. Eğer rakamlardan biri $0$ olsaydı $2n-276=0$, yani $n=138$ olması gerekirdi ki bu da bariz şekilde çelişkidir. Ayrıca $2n-276>0$ olduğundan $n$ en az üç basamaklıdır, yani $k\geq 3$'dür. $$a_1\cdot 9^{k-1}\geq a_1a_2\cdots a_{k}=2n-276\geq 2a_1\cdot 10^{k-1}-276$$ olacaktır. Yani $$276\geq a_1(2\cdot 10^{k-1}-9^{k-1})\geq 2\cdot 10^{k-1}-9^{k-1}$$ elde edilir. Sağ taraf $2\cdot (9+1)^{k-1}-9^{k-1}$ olarak yazılırsa, binom açılımı sonrası kalan tüm terimler pozitif olacağından sağ taraf artandır. Dolayısıyla, eğer $k\geq 4$ ise $$276\geq 2\cdot 10^{k-1}-9^{k-1}\geq 2\cdot 10^3-9^3=1271$$ çelişkisi elde edilir. Sonuç olarak $k=3$ buluruz.
Artık sayımıza $n=\overline{abc}=100a+10b+c$ diyelim. Artık elimizdeki eşitlik $$200a+20b+2c=abc+276$$ şeklindedir. Yukarıdaki bulduğumuz eşitsizlikten, $$276\geq a(2\cdot 10^2-9^2)=119a$$ elde edileceğinden $a=1$ veya $a=2$'dir.
$a=1$ ise $$20b+2c=bc+76$$ elde edilecektir. Denklemi düzenlersek, $$(b-2)(20-c)=36$$ bulunur. $36$'nın bölenlerini denersek, $(b,c)=(5,8),(4,2)$ çözümleri bulunur. Yani $n=158$ ve $n=142$ birer çözümdür.
$a=2$ ise $62+10b+c=bc$ elde edilir. Denklemi düzenlersek, $(b-1)(c-10)=72$ elde edilir ancak $1\leq b,c\leq 9$ olduğundan çözüm yoktur.
Tüm çözümler $n=142$ ve $n=158$ olarak bulunur.
32
« Son İleti Gönderen: diktendik Mayıs 20, 2026, 11:24:02 ös »
Yanıt : $\boxed {C}$
$O_2KL$ ve $O_1KL$ ücgenleri eşkenardır. $O_1O_2\cap AC=K,|LC|=b,|BC|=a,|AO_1|=x$ olsun. $A$ noktası iki çemberin kuvvet ekseni üzerinde olup iki çembere göre kuvvetleri eşittir ve buradan $a^2=x^2-4$ olur. $O_2KC$ üçgeninde pisagordan $(b+1)^2+3=x^2$ ve $ADC$ üçgeninde pisagordan $a^2+(x+2)^2=4(b+1)^2$ olup bu üç denklemden $2x^2-4x-12=0$ bulunup $x=\sqrt7+1$ olur.
33
« Son İleti Gönderen: diktendik Mayıs 20, 2026, 11:17:37 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$
İfade düzenlenirse $n+2-\frac{(n+2)^2}{m+n}$ bulunur. İfadenin tam sayı olması kesirli kısmın tam sayı olmasıyla sağlanır ve pay kısmında tamkare bir ifade yer aldığından sayının pozitif bölen sayısı tek olup tam sayı bölen sayısı bir tek sayının iki katıdır ve her çarpan icin ayrı bir $m$ değeri çözümdür. Yani $4$'e bölünmeyen çift sayılar koşulu sağlar.
34
« Son İleti Gönderen: diktendik Mayıs 20, 2026, 11:12:34 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$
$AF\cap BC=K$ olsun. $F$ kenarortay üzerinde olduğundan $DK//AB$ olup $DK\perp BC$ olur. Genelliği bozmadan uzunlukları $2$ ve $7$ alalım. $|DF|=a$ ve $|BK|=b$ olsun. $\triangle BDC$'nde öklitten $(a+2)^2=7b$ ve $\frac{|DK|}{|AB|}=\frac{|CK|}{|CB|}$ olduğundan $\frac{a}{2}=\frac{7-b}{7}$ olup ini denklemden $2a^2+57a-90=0=(2a-3)(a+30)$ ve $a=\frac{3}{2}$ olur. $\triangle {ABD}$'nde $EF$'ye göre manelaustan $\frac{|DC|}{|AC|}=\frac{a}{2}=\frac{3}{4}$ ve bizden istenen oran $3$ bulunur.
35
« Son İleti Gönderen: diktendik Mayıs 20, 2026, 10:04:46 ös »
Yanıt : $\boxed{D}$
Öğrencilerin alabilecekleri mesaj sayıları $[0,n-1]$ olup $n$ farklı değer alabilir. Her öğrenci farklı sayıda mesaj attığından bu sayıların her biri atılmıştır ve toplam $n(n-1)/2$ mesaj atılmış olur. Kişi başı $n-1/2$ mesaj düşer ve $n$'nin tek sayı olduğu anlaşılır. Şimdi her tek sayı icin kosullarin sağlandığını gosterelim. Kişileri sağdan sola ifade edecek olursak soldan sağa doğru herkes sırasıyla $0,1,2\cdots n-1$ kişiye mesaj atsın ve tam ortadaki kişiye kadar sağdaki herkes solundaki her kişiye mesaj atsın. Tam ortadaki kişiden itibaren herkes sağ baştan başlayarak atacağı mesaj sayısı kadar kişiye sırasıyla mesaj atarsa durum saglanir. Yani $n$'nin tek sayı olması gerek ve yeter koşuldur.
36
« Son İleti Gönderen: diktendik Mayıs 20, 2026, 09:54:02 ös »
Yanıt : $\boxed {E}$
$|EB|=x$ olsun. İç ve dış açıortay teoremleri yazılıp oranlar birbirine eşitlenirse $\frac{x}{13\cdot \frac{4}{3}}=\frac{13-x}{\frac{13}{3}}$ olup $x=\frac{52}{5}$ bulunur.
37
« Son İleti Gönderen: diktendik Mayıs 20, 2026, 09:49:56 ös »
Yanıt : $\boxed{E}$
Kırmızı kutuda tüm topların en az $3$'te biri olduğu barizdir. $34$ için açıkça kosul sağlanmaz ve en az $35$ top içerir. Bu durumda diğer iki kutu $34,32$ biçiminde dağılmalıdır ve $2$ durum elde edilir. $36$ durumunda diğer kutular $35,30$'dan başlar ve orta noktada aynı sayılar olmadığından $35-30+1=6$ durum elde edilir. Bundan sonra aralık $36,28$ olup ortada $32,32$ olduğundan $36-28=8$ durum doğar. Sonraki adımda $12$ ve bu şekilde kırmız kutuda $50$ top olana kadar durum $24$ olana kadar devam eder. Buraya kadar $2(1+3+4+6+\cdots+22+24)=2(4+10+16+\cdots+46)=2\cdot 8\cdot 25=400$ durum elde edilir. $51$ durumunda $49,1$'den başlanarak $48$ durum elde edilir. $52$ durumunda $48,1$'den yine $48$ durum bulunur. Sonraki adımlar benzer yollarla $46,46,44,44,42....$ biçiminde olup $48+2(47+45+\cdots+1)=48+2\cdot 576=1200$ olur. Cevap $1200+400=1600$ olur.
38
« Son İleti Gönderen: geo Mayıs 20, 2026, 09:38:40 ös »
Aslı aklından $20$ basamaklı bir sayı tutuyor ve Zehra'ya bu sayının her rakamının ya $1$ ya da $2$ olduğunu söylüyor. Zehra $N$ tane $20$ basamaklı sayıyı bir kağıda yazıp Aslı'ya iletiyor. Zehra'nın amacı yazdığı sayılardan en az biri ile Aslı'nın seçtiği sayının en az $11$ basamağının aynı olmasıdır. $N$ sayısının en küçük hangi değeri için Zehra bunu garantileyebilir?
$\textbf{a)}\ 3 \qquad \textbf{b)}\ 4 \qquad \textbf{c)}\ 6 \qquad \textbf{d)}\ 8 \qquad \textbf{e)}\ 10$
39
« Son İleti Gönderen: geo Mayıs 20, 2026, 09:38:14 ös »
Bir $a_1, a_2, \ldots$ gerçel sayı dizisi, $a_1=1$ ve her $n\ge 1$ sayısı için
$$3na_{n+1}^2+(4n+4)a_n^2=(7n+3)a_na_{n+1}$$
eşitliğini sağlıyor. Buna göre, $a_{100}$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
$\textbf{a)}\ 100 \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{1600}{27} \qquad \textbf{c)}\ \dfrac{729}{16} \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{1143}{32} \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
40
« Son İleti Gönderen: geo Mayıs 20, 2026, 09:37:49 ös »
$p^2+q+5$ ve $21p-q^2+19$ sayılarının her ikisinin de asal sayı olmasını sağlayan kaç farklı $(p,q)$ sıralı asal sayı ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ 5$
Sayfa: 1 2 3 [4] 5 6 ... 10
|
Son İletiler