1
« Son İleti Gönderen: mmrtkmss Bugün, 08:55:22 ös »
$19^x+23^y=z^2$
İlk önce pozitif tamsayılarda inceleyelim.
$19^x+23^y\equiv 1+(-1)^y \equiv z^2\pmod{6}$
$y$ sayısı çift olursa $(-1)^y+1 \equiv 2 \equiv z^2\pmod{6}$ Çelişki.
$y$ sayısı tek olursa $(-1)^y+1 \equiv 0 \equiv z^2\pmod{6}$ Sağlanır. Dolayısıyla $y$ tek bir sayıdır.
$19^x+23^y\equiv (-1)^x-1 \equiv z^2\pmod{4}$
$x$ sayısı tek olursa $(-1)^x+1 \equiv -2 \equiv 2 \equiv z^2\pmod{4}$ Çelişki.
$x$ sayısı çift olursa $(-1)^x+1 \equiv 0 \equiv z^2\pmod{4}$ Sağlanır. Dolayısıyla $x$ çift bir sayıdır. $k>0$ bir pozitif tamsayı olmak üzere $x$ sayısını $2k$ formunda yazalım.
$23^y+(19^k)^2=z^2$
$23^y=(z-19^k)(z+19^k)$
Her iki çarpan da $23$'ün bir kuvveti olmalıdır.
$n>m$ ve $m+n=y$ olacak şekilde çarpanları
$z+19^k=23^n$
$z-19^k=23^m$ şeklinde yazalım ve taraf tarafa çıkaralım.
$23^n-23^m=2.19^k \Rightarrow 23^m(23^{n-m}-1)=2.19^k$
Sağ taraf $23$'e bölünemediğinden $m=0$ olmak zorundadır ve dolayısıyla $y=n$ olur. En sonunda denklem aşağıdaki formu alır.
$23^y-1=2.19^k$
Fakat $11|23^y-1 \Rightarrow 11|2.19^k$ olduğundan çelişki elde ederiz. Demek ki $x$ ve $y$ sayıları aynı anda pozitif bir tamsayı olamıyorlarmış.
$y=0$ olsun.
$19^x+1=z^2$
$19^x=(z-1)(z+1)$
Yukarıda yaptığımız gibi çarpanları isimlendirirsek
$19^n-19^m=2$ elde ederiz fakat bu denklemin çözümü yoktur.
$x=0$ olsun.
$23^y+1=z^2$
$23^y=(z-1)(z+1)$
Çarpanları isimlendirirsek
$23^n-23^m=2$ elde ederiz fakat bu denklemin de çözümü yoktur.
Dolayısıyla $x, y \in \mathbb{N}_0$ tamsayıları için $19^x+23^y$, bir tamkare olamaz.
2
« Son İleti Gönderen: Lokman Gökçe Haziran 06, 2026, 04:27:02 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$ Çözüm: Verilen integralde bölge $0\leq x\leq 2, \, 0\leq y\leq \sqrt{4-x^2}$ eşitsizlikleri ile tanımlıdır. Buradan $x^2+y^2\leq 4,\, x\geq 0, \, y\geq 0$ olduğu görülür. Yani üzerinde integral alınan $D$ bölgesi, merkezi orijin ve yarıçapı $2$ olan çemberin birinci bölgedeki çeyrek dairesidir. Kutupsal koordinat dönüşümü yapalım: $x=r\cos\theta,\, y=r\sin\theta$. Bu durumda $x^2+y^2=r^2$ ve alan elemanı $dxdy=r \,dr \, d\theta$ olur. Bölge birinci bölgede yarıçapı $2$ olan çeyrek daire olduğundan $0\leq r\leq 2,\, 0\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{2}$ elde edilir. O halde integral $$ \int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{\sqrt{4-x^2}}(x^2+y^2)\,dy\,dx = \int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{2} r^2\cdot r \,dr \, d\theta $$ biçimine dönüşür. Buradan $$ \int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{2} r^3\,dr \,d\theta = \int\limits_{0}^{\pi/2}\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{2}d\theta $$ olur. Dolayısıyla $\int\limits_{0}^{\pi/2}4\,d\theta = 4\cdot \dfrac{\pi}{2} = 2\pi$ bulunur. Bu nedenle cevap $2\pi$ olur.
import graph;
size(7cm);
real f(real x) { return sqrt(4-x*x); }
pair O=(0,0);
pair A=(2,0);
pair B=(0,2);
path C = graph(f,2,0);
path D = O--A--C--O;
fill(D, yellow);
draw(D);
draw((-0.15,0)--(2.3,0), Arrow);
draw((0,-0.15)--(0,2.3), Arrow);
label("$x$", (2.3,0), E);
label("$y$", (0,2.3), N);
label("$O$", O, SW);
label("$2$", A, S);
label("$2$", B, W);
label("$D$", (0.78,0.62), N, fontsize(15pt));
label("$y=\sqrt{4-x^2}$", (1.10,1.52), NE, fontsize(20pt));
3
« Son İleti Gönderen: Lokman Gökçe Haziran 06, 2026, 02:15:09 ös »
Merhaba İbrahim hocam,
Talebinize yanıt gelmeyebilir, bilemiyorum. Güçlü bir yapay zekaya soruları vererek cevap anahtarı çıkarabilirsiniz.
4
« Son İleti Gönderen: geo Haziran 06, 2026, 01:23:33 ös »
$a+b+c = 101$.
$a=x+1$, $b=y+1$, $c=y+1$.
$x+y+z=98$
Tekrarlı kombinasyondan $98$ şeker $3$ çocuğa $\binom{98 + 3 - 1}{3-1} = \binom {100}{2} = 4950$ farklı şekilde dağıtılır.
$n=0, \dots, 49$ için $(n,n, 98 - n)$ şeklindeki dağılımları istemiyoruz. $50\times 3 = 150$ durumu çıkardığımızda $4950-150 = 4800$ farklı dağılımda kutulardaki top sayıları birbirinden farklı olur.
$a>b>c$ olsun.
$(a,b,c)$ nin $3!=6$ farklı dağılımından sadece $(a,b,c)$ veya $(a,c,b)$ dağılımları $(K,B,M)$ kutularına verilebilir. Bu durumda aradığımız yanıt $\dfrac {4800}{\frac 62} = 1600$ olacaktır.
5
« Son İleti Gönderen: idensu Haziran 06, 2026, 11:11:59 öö »
yanıtları verirseniz karşılaştırma yapabileceğiz. En azından ne zaman yanıtları vereceğinizi söylerseniz sevinirim.
6
Cevap: $\boxed{D}$
$X$ litre su ve $Y$ litre süt olsun. Beyaz kedi $5a$ l/dk hızında su içiyor, $3b$ l/dk hızında süt içiyor olsun. Bu durumda siyah kedinin su ve süt içme hızları sırayla $a$ l/dk ve $b$ l/dk'dır.
Beyaz kedi $X$ litre suyu $\frac{X}{5a}$ dakikada bitirir, bu sürede siyah kedi $\frac{Xb}{5a}$ litre süt içecektir. Dolayısıyla, geriye kalan $Y-\frac{Xb}{5a}$ sütü $\left(Y-\frac{Xb}{5a}\right)\frac{1}{4b}$ dakikada bitirirler. Sonuç olarak toplamda $$\frac{X}{5a}+\left(Y-\frac{Xb}{5a}\right)\frac{1}{4b}=\frac{3X}{20a}-\frac{Y}{4b}$$ dakika geçer ki soru bize bu değerin $18$ olduğunu söylüyor.
Şimdi ise aynı mantıkla ikinci günü hesaplarsak, $\frac{Y}{3b}$ dakikada süt biter, o sırada siyah kedi $\frac{Ya}{3b}$ litre su içer ve geriye kalan $X-\frac{Ya}{3b}$ suyu $\left(X-\frac{Ya}{3b}\right)\frac{1}{6a}$ dakikada bitirirler. Toplamda $$\frac{Y}{3b}+\left(X-\frac{Ya}{3b}\right)\frac{1}{6a}=\frac{X}{6a}-\frac{5Y}{18b}$$ dakikada bitirirler. Bu tam olarak önceki günün $\frac{10}{9}$ katıdır. Yani bu süre $18\cdot \frac{10}{9}=20$ dakikadır.
7
Cevap: $\boxed{D}$
Verilen eşitsizliği düzenlersek, $$(m-123)(n-34)=mn-34m-12n+34\cdot 123>34\cdot 123$$ ile denk olduğu görülür. Biz bu eşitliği sağlayan her $(m,n)$ için $m$ veya $n$'den en az birinin $K$'dan büyük olmasını istiyoruz. Eğer $m,n\leq 157$ olursa $$34\cdot 123=(157-123)(157-34)\geq (m-123)(n-34)>123\cdot 34$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla her zaman ya $m\geq 158$ ya da $n\geq 158$ olmalıdır. Ayrıca $(158,158)$ bir güzel ikili olduğundan $K$'nın alabileceği en büyük değer $158$'dir.
8
Cevap: $\boxed{B}$
$2024$ yılında Ayşe $A$ yaşında, Zehra ise $Z$ yaşında olsun. Annesi ise $2024$'de $100x$ şeker vermiş olsun. Bu durumda $2025$'de $120x$ şeker, $2026$'da ise $144x$ şeker vermiştir. Ayşe ve Zehra $2024$ yılında sırasıyla $\frac{100Ax}{A+Z}$ ve $\frac{100Zx}{A+Z}$ şeker almışlardır. Şeker sayılarının farkı $\frac{100x(A-Z)}{A+Z}$'dir. Aynı mantıkla $2025$'de bu fark $\frac{120x(A-Z)}{A+Z+2}$ ve $2026$'da ise $\frac{144x(A-Z)}{A+Z+4}$'dür. Elimizdeki bilgiler ise $$\frac{100x(A-Z)}{A+Z}=\frac{120x(A-Z)}{A+Z+2}=700$$ olduğudur. İlk eşitlikten $A+Z=10$ olarak bulunur. Bunu yerine yazarsak da $x(A-Z)=70$ olarak bulunur. Dolayısıyla, $2026$ yılında Ayşe, Zehra'dan $$\frac{144x(A-Z)}{A+Z+4}=\frac{144\cdot 70}{14}=720$$ şeker fazla almıştır.
9
Cevap: $\boxed{C}$
Sayıları $100A+30+B$ ve $309+10C$ olarak yazarsak, $$100A-10C+B\equiv 279\equiv 4\pmod{55}$$ olarak bulunur. Eğer mod $5$'e düşersek, $B=4$ veya $B=9$ olması gerektiği görülür.
$B=4$ ise $100A-10C\equiv A+C\equiv 0\pmod{11}$ elde edilir. Bu da $1\leq A+C\leq 18$ olduğundan $A+C=11$ iken mümkündür. Dolayısıyla, $A+B+C=15$ elde edilir.
$B=9$ ise $100A-10C\equiv A+C\equiv 10\pmod{11}$ elde edilir. Aynı şekilde $A+C=10$ olmalıdır ve $A+B+C=19$ olarak bulunur.
$A+B+C$'nin alabileceği sadece iki değer vardır.
10
Cevap: $\boxed{C}$
$m$ ve $n$ birbirlerinden bağımsız olduğundan $m+n$'nin en büyük değeri $m$ ve $n$ ayrı ayrı en büyükken elde edilir.
$m$ sayısı $a,b\mid m+22$ olmak üzere $a+b$ olarak yazılabilsin, $n$ ise $c,d\mid n+24$ olmak üzere $c+d$ olarak yazılabilsin. Genelliği bozmadan $a\leq b$ ve $c\leq d$ kabul edebiliriz.
İlk önce $a=b$ veya $c=d$ olduğunda ne olduğuna bakalım. $a=b$ ise $a=b=\frac{m}{2}$'dir ve $\frac{m}{2}\mid m+22$ olacağından $\frac{m}{2}\mid 22$ olacaktır ve $m=2,4,22,44$ olabileceği görülür. Benzer şekilde $c=d$ ise de $\frac{n}{2}\mid n+24$ olacağından $n=2,4,6,8,12,16,24,48$ olabilir.
Şimdi $a<b$ ve $c<d$ durumlarını inceleyelim. $a\leq \frac{m+22}{3}$ ve $b\leq \frac{m+22}{2}$ olacağından $$m=a+b\leq \frac{5(m+22)}{6}$$ elde edilir. Yani $m\leq 110$'dur. Aynı şekilde ile $n\leq 120$ bulunur. Eğer test edersek, gerçekten de $m=110$'un $(110=44+66)$ ve $n=120$'nin $(120=48+72)$ istenileni sağladığı görülebilir. Dolayısıyla alabilecekleri en büyük değerler bunlardır. Sonuç olarak $m+n=230$ bulunur.
|
Son İletiler