İddia. Sınırlı türev fonksiyonları Riemann-integrallenebilir olmak zorunda değildir.
İlişkili karşı örnek. $x\not=0$ için $f(x)=x^2\sin(1/x)$ ve $f(0)=0$ koşullarını sağlayan $f$ fonksiyonunu alalım.
$$f'(x)=2x\sin(1/x)-x^2\cos(1/x)\cdot +\frac{1}{x^2}=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$$
sağlanır. Hesaplanan türev fonksiyonu $x\rightarrow 0$ iken $-1$ ve $1$ arasında salınım hareketi gerçekleştirecektir. Bu gözlemimizi formalize edelim.
Ara İddia. $f'$ fonksiyonu $x=0$ noktasında süreksizdir.
İspat. Süreksizliği göstermemiz için $0<|x-0|<\delta$ ifadesini sağlayan her $\delta$ için öyle $x$ ve $\varepsilon$ değerleri bulunmalıdır ki $|f'(x)-f'(0)|\geq\varepsilon$ sağlanmalıdır. $\varepsilon\leq 1$ alınmış olsun. Eudoxos Teoreminden
$$\frac{1}{2\pi n}<\frac{1}{n}<\delta$$
koşulunu sağlayacak bir $n$ doğal sayısı her $\delta>0$ reel sayısı için bulunabilir. (Bu teorem reel sayıların Arşimet özelliğinden gelir) Öyleyse $x=1/2\pi n$ ilk eşitsizlik koşulumuzu sağlamaktadır. Buna karşın bu değeri türev fonksiyonunda yerine yazarsak
$$f'\left(\frac{1}{2\pi n}\right)=2\left(\frac{1}{2\pi n}\right)\sin(2\pi n)-\cos(2\pi n)=-1$$
elde edilir. Ayrıca türevin limit tanımından, $|\sin x|\leq 1$ eşitsizliğinden ve Sıkıştırma Teoreminden
$$f'(0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^2\sin(1/h)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} h\sin(1/h)\Leftrightarrow \lim_{h\rightarrow 0} -h\leq f'(0)\leq \lim_{h\rightarrow 0} h\Leftrightarrow f'(0)=0$$
bulunur. Son olarak bu değerleri yerine yazarsak
$$|f'(1/2\pi n)-f'(0)|=|-1-0|=1\geq\varepsilon$$
elde ederiz. Bu ise ispatlamak istediğimiz koşuldu $\blacksquare$
İnşa. $f'$ tek bir noktada süreksizliği olan sınırlı bir türev fonksiyonudur. Şimdi integrallenebilirlik koşulunu bozmak için $f'$ fonksiyonunu kullanarak başka bir $V$ fonksiyonu inşa edeceğiz.
$[0,1]$ aralığını alalım. İlk aşamada bu aralığın ortasından $1/4$ uzunluğunda bir aralık çıkartalım. Elimizde $[0,3/8]\cup[5/8,1]$ aralığı kalacaktır. Ardından birleşimdeki iki aralığın da ortasından $1/4^2$ uzunluğunda aralıklar çıkartalım. Bu işlemi her $n$ doğal sayısı ve $1/4^n$ uzunluğundaki aralıklar için tekrar edelim. Son noktada elimizde kalan kümeye $C$ diyelim. $C$ kümesinin ölçüsü
$$1-\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{4^n}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0$$
gelecektir. Burada $C$ kümesine Smith-Volterra-Cantor kümesi de denir. Şimdi fonksiyonumuzu tanımlayalım.
$x\in C\Rightarrow V(x)=0$ olsun.
$x\not\in C$ olduğunda ise $x\in(a_i,b_i)$ formunda bir açık aralıkta olacaktır. Bunun sebebi $C$ kümesinin sonsuz miktardaki kapalı aralığın birleşiminden oluşmasıdır. Bu aralıkta $m_i=(a_i+b_i)/2$ tanımlayalım ve iki duruma ayıralım:
$x\in(a_i,m_i]\Rightarrow V(x)=f(x-a_i)=(x-a_i)^2\sin\left(\frac{1}{x-a_i}\right)$
$x\in[m_i,b_i)\Rightarrow V(x)=f(b_i-x)=(b_i-x)^2\sin\left(\frac{1}{b_i-x}\right)$
Açıklama. $V'(x)$ fonksiyonunu inceleyelim. Her $(a_i,b_i)\not\in C$ açık aralığı için fonksiyon sürekli ve sınırlıdır. Buna karşın supremum ve infimum durumlarında yani $x\rightarrow a_i,b_i$ için $V'(x)\rightarrow f'(0)$ sağlanır. Buna karşın bu aralıktaki supremum ve infimum değerleri $C$ kümesinde yer alır, bu sebepten $V'(a_i)=V'(b_i)=0$ elde edilir. Ara iddiadan ötürü $V$ fonksiyonu bu noktaların her birinde süreksiz olacaktır. İnşada $f$ fonksiyonunu aralığın orta noktasına göre yansıtmamızın sebebi çift yönlü olarak bu ilişkiyi elde etmekti. Bu inşada orta nokta yerine aralıktaki başka bir noktanın da aynı işlevi göreceği unutulmamalıdır. Örneğin $m_i=(2a_i+b_i)/3$ alınsaydı yine bu ilişki elde edilirdi.
Sonuç olarak $V'$ fonksiyonu $C$ kümesinde süreksiz olacaktır. $C$ kümesinin ölçüsü ise pozitif bir reel sayıdır. Lebesgue'in İntegrallenebilirlik Kriterine göre ölçüsü pozitif olan bir kümede süreksiz olan fonksiyonlar Riemann-integrallenebilir değildir. Buna karşın $V'$ sınırlı bir türev fonksiyonudur. Karşı örnek böylelikle kurulmuştur.
Dipnot 1. Burada integrallenebilirlik kriterinde verilen "ölçüsü pozitif olan küme" koşulundan küme elemanlarının çokluğunu ifade eden sonsuzluğun reel sayılarla kıyas edilebilir olduğu anlaşılmalıdır. Örneğin $C$ kümesi sayılabilir bir sonsuzluk olsaydı ölçüsü $0$ olacaktı.
Dipnot 2. Bu ileti AYT 2026'da sorulan 23. Matematik sorusuna dair çözümde kullanılacaktır.
