Bahsi geçen soru ekte verilmiştir. Burada önemli bir nokta güncel olarak dolaşımda olan integralli çözümlerin tümünün $f'$ fonksiyonunun integrallenebilir olduğunu varsaymasıdır. Sorunun iptalini doğru bulmayan pek çok öğrenci ve öğretmen bu temelde integralli çözümlere itiraz etmişlerdir. Her ne kadar kanımca soruda verilen grafikten bu çıkarımı yapmak çok isabetli olmasa bile bu kişiler verilen türev grafiğinde ÖSYM'nin net bir şekilde belirtmediği ancak sadece grafikten de çıkarılamayacak bazı patolojik özellikler olduğunu öne sürmüşlerdir. Bunun sınav sorusunun değerlendirilmesi için uygun bir açı olmadığını düşünmekle beraber tartışmanın kendisini üretken buluyorum.
Grafikten hiçbir patolojik olmayan özelliği (süreklilik vb.) varsaymadan net olarak çıkarılabilen bilgiler şunlar:
$f'$ bir türev fonksiyonu ve $[3,4]$ aralığında sınırlı,
$x\in[3,4]$ için $f'(x)<f'(4)$,
$f(4)>0$,
$f'(4)=f(4)$ sağlanıyor ve ikisi de reel sayı. (sonsuza gitmiyorlar)
Gerçekten sadece bu bilgileri kullanarak $f'(x)$ fonksiyonunun doğrudan Riemann integrallenebilir olduğunu söylemek mümkün değil. Bunun için uygun karşı örneği
https://geomania.org/forum/index.php?topic=9717.msg27084;topicseen#new iletisinde veriyorum. Buna karşın buradaki bilgilerden faydalanılarak $f'$ fonksiyonunun ölçülebilir yani Lebesgue integrallenebilir olmak zorunda olduğu sonucuna varıyoruz. Bunun ispatını da
https://geomania.org/forum/index.php?topic=9716.msg27083;topicseen#new iletisinde verdim. Yani sonuç olarak elimizde Riemann integrallenebilir olmak zorunda olmayan ama kesinlikle Lebesgue integrallenebilir olan bir $f'$ fonksiyonu var. Öyleyse burada integral çözümünü Riemann değil Lebesgue integraliyle tekrar edebiliyoruz.
$$f'(x)<f'(4)\Leftrightarrow \int_{[3,4]} f'(x)d\lambda=f(4)-f(3)<\int_{[3,4]} f'(4)d\lambda=f'(4)\lambda([3,4])=f'(4)(4-3)=f'(4)=f(4)\Leftrightarrow f(3)>0$$
sağlanmak zorundadır. Lebesgue integrallerinde eşitsizlikler korunur ve Kalkülüsün Temel Teoremini uygulamak mümkündür. $f(4)>0$ verili olduğundan $[3,4]$ aralığında fonksiyonun bir kökünün bulunması imkansızdır.
Tabii ki de lise müfredatının ötesinde matematik bilmeyen herhangi birisinin bu çözümü yapması mümkün olmadığı için Lokman Hocamla aynı fikirdeyim. Burada ifade edilen teknik detaylar sorunun iptal edilmesi için fazladan sebep oluşturuyor.
