(k₂=1, N=7) Kesen Problemi

[geo]

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_2 = 1, N=7)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 24^\circ$, $\angle ACB = c = 30^\circ$, $\angle BAC = a = 126^\circ$, $\angle ADC = d = 54^\circ$, $\angle BAD = a_1 =30^\circ $, $\angle CAD = a_2 = 96^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2 = 1 & 7.0 & (b = 24^\circ, c = 30^\circ, d = 54^\circ)  & k_2 = 1 \\
& 7.1 & (k_2 = 1, b=24^\circ, c = 30^\circ)  & a_1 = 30^\circ \\
& 7.2 & (k_2 = 1, a=126^\circ, d = 54^\circ)  & a_1 = 30^\circ \\
& 7.3 & (k_2 = 1, b=24^\circ, a_1 = 30^\circ)  & a_2 = 96^\circ  \\
& 7.4 & (k_2 = 1, b=24^\circ, a_2 = 96^\circ )  & a_1 = 30^\circ \text { veya } a_1 = 6^\circ \\
& 7.5 & (k_2 = 1, c=30^\circ, a_1 = 30^\circ)  & a_2 = 96^\circ \text{ veya } a_2 = 24^\circ \\
& 7.6 & (k_2 = 1, c=30^\circ, a_2 = 96^\circ)  & a_1 = 30^\circ \\
& 7.7 & (k_2 = 1, a_1=30^\circ , a_2 = 96^\circ)  & b = 24^\circ \\

\end{array}
$$

İlgili soruların çözümleri:

7.0
7.1
7.2
7.3
7.4 (Trigonometrik)
7.5
7.6 (Trigonometrik)
7.7

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 7.0) \equiv (b=24^\circ , c = 30^\circ, d = 54^\circ) \Longrightarrow k_2 = 1 $

Çözüm:

$\triangle ABC$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOB = 2\angle BCA = 60^\circ$, $AB=OA=OB=OC$.
$\angle DAO = \angle DAB = 30^\circ$ ve $AB=AO$ olduğu için $BD=DO$, yani $\angle DBO = \angle DOB = 36^\circ$.
Basit açı hesaplarıyla $\angle AOC = 2\angle CBA = 48^\circ$, $\angle DOC = \angle CDO = 72^\circ$ ve $CD = OC = AB$.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 7.1) \equiv (k_2=1, b=24^\circ , c = 30^\circ) \Longrightarrow a_1 = 30^\circ $

Çözüm:

$\triangle ABC$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOB = 2\angle ACB = 60^\circ$, $AB=AO=OB=OC$, $\angle BCO = \angle CBO = 36^\circ$.
$CD=AB=OC$ olduğu için $\angle CDO = \angle COD = 72^\circ$, $\angle DOB = \angle DBO = 36^\circ$.
$AB=AO$ ve $BD=DO$ olduğu için $a_1 = \angle BAD = \angle DAO = 30^\circ$.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 7.2) \equiv (k_2=1, a=126^\circ , d = 54^\circ) \Longrightarrow a_1 = 30^\circ $

Çözüm:

$\angle ADB = \angle CAB = 126^\circ$ olduğu için $\triangle ADB \sim \triangle CAB$. Dolayısıyla $AB^2 = BD \cdot BC$.
$AB=CD=1$ ve $BD=x$ dersek $x(x+1) = 1 \Rightarrow x = \dfrac {\sqrt{5} - 1}{2}$.

$\triangle ABD$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOB + 2\angle ADB = 360^\circ \Longrightarrow \angle AOB= 108^\circ$.
$AO$ nun uzantısı üzerinde $BE=BO$ olacak şekilde $E$ noktası alalım.
$AE$ nin uzantısı üzerinde $FE=BE$ olacak şekilde $F$ noktası alalım.
$\angle EOB = \angle BEO = 72^\circ$, $\angle EFB = \angle EBF = \angle FAB = 36^\circ$, $\angle FBO = \angle FOB = 72^\circ$.
Dolayısıyla $FO=FB=AB=AE=1$. $AO=y$ dersek $\angle OBA = \angle BFA = 36^\circ$ olduğu için $AO\cdot AF = AB^2 \Longrightarrow y(y+1) = 1 \Longrightarrow y = \dfrac {\sqrt 5 - 1}{2}$.
Buradan $x=y$ sonucu çıkar.
Bu durumda, $AO=OB=OD=BD$ olacağı için $\triangle OBD$ eşkenar ve $\angle BAD = \dfrac {\angle BOD}{2} = 30^\circ$ olacaktır.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 7.3) \equiv (k_2=1, b=24^\circ , a_1 = 30^\circ) \Longrightarrow a_2 = 96^\circ $

Çözüm:

$B$ nin $AD$ ye göre simetriği $E$ olsun. $AB=AE$, $\angle ABD = \angle DAE = 30^\circ$ olduğu için $\triangle ABE$ eşkenar, $BD=DE$ ve $\angle DBE = \angle DEB = 36^\circ$.
$BD$ nin uzantısı üzerinde $DE = BF$ olacak şekilde $F$ noktası aldığımızda $BD = FC$, $\angle BFE = \angle BEF = \angle FDE = 72^\circ$, $DE=FE$, $\angle FCE = \angle FEC = 36^\circ$, dolayısıyla $BE=EC$ elde edilecektir.
Bu durumda $BE=AE=EC$ olduğu için $E$ noktası $\triangle ABC$ nin çevrel merkezidir. $\angle ACB = \dfrac {\angle AEB}{2} = 30^\circ$ ve $a_2 = \angle CAD = 96^\circ$.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 7.4) \equiv (k_2=1, b=24^\circ , a_2 = 96^\circ) \Longrightarrow a_1 = 30^\circ \text { veya } a_1 = 6^\circ$

Çözüm: (Trigonometrik)

$\dfrac {AB}{AD} = \dfrac {\sin d}{\sin b}$, $\dfrac {AD}{DC} = \dfrac {\sin c}{\sin a_2}$, dolayısıyla $\dfrac {AB}{DC} = \dfrac {\sin d \cdot \sin c }{\sin b \cdot \sin a_2} = 1 \Longrightarrow \sin d \cdot \sin c = \sin b \cdot \sin a_2$ eşitliği bu soru tipinin karakteristik denklemi.

$\angle BAD= \alpha$ diyelim. Yerine yazarsak $\sin 24^\circ \sin 96^\circ = \sin (\alpha + 24^\circ) \sin (60^\circ - \alpha)$ elde ederiz. Eşitliğin iki tarafını da $2$ ile çarparsak $\cos 72^\circ - \cos 120^\circ = \cos (36^\circ - 2\alpha) - \cos 84^\circ$ olur.
Çok bilinen $\cos 36^\circ - \cos 72^\circ = \cos 60^\circ \Rightarrow \cos 72^\circ = \cos 36^\circ - \cos 60^\circ$ eşitliğini yerine yazarsak $\cos (36^\circ - 2\alpha) = \cos 36^\circ - \cos 60^\circ - \cos 120^\circ + \cos 84^\circ = \cos 36^\circ + \cos 84^\circ = 2\cos 60^\circ \cos 24^\circ = \cos 24^\circ$ elde ederiz.
$36^\circ - 2\alpha = \pm 24^\circ \Longrightarrow 2\alpha = 36^\circ \mp 24^\circ \Longrightarrow \alpha = 18^\circ \mp 12^\circ$ olacağı için $a_1 = 30^\circ$ veya $a_1 = 6^\circ$ elde edilir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 7.5) \equiv (k_2=1, c=30^\circ , a_1 = 30^\circ) \Longrightarrow a_2 = 96^\circ \text { veya } a_2 = 24^\circ$

Çözüm:

$\triangle ABC$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOB = 2\angle ACB = 60^\circ$ ve $OC=OA=OB=AB=CD$ olacaktır.

$\angle ABC > 60^\circ$ ve $\angle OBD = \alpha$ olsun.
$\angle BAD = \angle OAD = 30^\circ$ olduğu için $OD=BD$ ve $\angle BOD = \angle OBD = \alpha$ dır.
$CD=OC$ olduğu için $\angle DOC = \angle ODC = 2\alpha$ dır.
$OB=OC$ olduğu için $\angle OCB = \angle OBC = \alpha$ ve $\triangle OCD$ de iç açılar toplamından $5\alpha = 180^\circ \Longrightarrow \alpha = 36^\circ$, dolayısıyla $a_2 = 180^\circ - 96^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 24^\circ$ elde edilir.

$\angle ABC = 60^\circ$ sağlamaz.

$\angle ABC < 60^\circ$ ve $CBO = \alpha$ olsun.
$\angle BAD = \angle DAO = 30^\circ$ olduğu için $BD=DO$.
$\angle DOB = \angle DBO  = \angle BCO= \alpha$ ve $\angle CDO = \angle DOC = 2\alpha$.
$\triangle CDO$ de iç açılar toplamından $5\alpha = 180^\circ \Longrightarrow \alpha = 36^\circ$ ve $\angle ABC = 60^\circ - 36^\circ = 24^\circ$. Dolayısıyla $a_2 = \angle CAD = 96^\circ$ dir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 7.6) \equiv (k_2=1, c=30^\circ , a_2 = 96^\circ) \Longrightarrow a_1 = 30^\circ $

Çözüm: (Trigonometrik)

$\dfrac {AB}{AD} = \dfrac {\sin d}{\sin b}$, $\dfrac {AD}{DC} = \dfrac {\sin c}{\sin a_2}$, dolayısıyla $\dfrac {AB}{DC} = \dfrac {\sin d \cdot \sin c }{\sin b \cdot \sin a_2} = 1 \Longrightarrow \sin d \cdot \sin c = \sin b \cdot \sin a_2$ eşitliği bu soru tipinin karakteristik denklemi.

$\angle ABD = \alpha$ olsun.
$\sin \alpha \sin 96^\circ = \sin 54^\circ \sin 30^\circ$ ve $\sin \alpha = \dfrac {\sin 54^\circ \sin 30^\circ}{\sin 96^\circ} = \dfrac {\cos 36^\circ}{2\cos 6^\circ}$ elde edilir.

Meşhur $\cos 36^\circ - \cos 72^\circ = \cos 60^\circ$ eşitliğinden $\cos 36^\circ = \cos 72^\circ + \cos 60^\circ = 2\cos 66^\circ \cos 6^\circ$ elde edilir.

Bu durumda $\sin \alpha = \dfrac {2\cos 66^\circ \cos 6^\circ}{2\cos 6^\circ} = \cos 66^\circ = \sin 24^\circ$ olur.

O halde $a_1 = \angle BAD =  54^\circ -  24^\circ = 30^\circ$ dir.