İddia. Sınırlı türev fonksiyonları ölçülebilirdir.
İspat. $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ türevlenebilir, alttan ve üstten sınırlı bir fonksiyon olsun. $h_n=1/n$ $(n\in\mathbb{N})$ ve
$$f_n(x)=\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}=\frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)}{\frac{1}{n}}$$
dizilerini tanımlayalım. $f$ türevlenebilir olduğundan süreklidir. Dolayısıyla $f$ fonksiyonunun ötelemeleri de süreklidir. Sonuç olarak $f_n$ sürekli, bu yüzden ölçülebilirdir. Haricen türevin limit tanımından
$$\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)=C_1\leq f'(x)\leq C_2$$
ifadesi sağlanır. ($C_1,C_2\in\mathbb{R}$) Burada limitin var olduğunu türevin sınırlılığından söyleyebiliriz. Bu limit, $f'$ fonksiyonunun her noktada (pointwise) ölçülebilir fonksiyonlardan oluşan bir dizinin limiti olarak yazılabileceğini gösterir. Böylelikle $f'$ fonksiyonunun ölçülebilir olduğu ispatlanmış olur. $\blacksquare$
Dipnot. Bu ispatı AYT 2026'da bu sene sorulan 23. sorunun çözümünde kullanacağım.
