Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2003
1
Matematik Olimpiyatlarına hazırlanan İlke şöyle bir program uyguluyor: Her gün en fazla $10$ problem çözebilen İlke$,$ $7$'den fazla problem çözdüğü günden hemen sonraki iki günde en fazla $5$'er problem çözüyor. Bu programı titizlikle uygulayan İlke$,$ $29$ günde en fazla kaç problem çözebilir?
$\textbf{a)}\ 206 \qquad\textbf{b)}\ 207 \qquad\textbf{c)}\ 204 \qquad\textbf{d)}\ 203 \qquad\textbf{e)}\ 202$
2
$x$ ve $y$ reel sayıları
$ \left\{ \begin{align*}
x + \dfrac xy + y &= 8 \\
x \cdot \dfrac{x+y}{y} &= 15
\end{align*} \right.$
denklemler sistemini sağlıyorsa$,$ $x+y$ toplamının alabileceği en küçük değer nedir?
$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ \sqrt8 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{15}$
3
Şekilde $E,\ A$ ve $B$ noktaları doğrusal olup$,$ $|AB|=|AC|,\ |DA|=|DC|$ ve $m(\widehat{EAC})+m(\widehat{ADC})=220^{\circ}$ dir. Bu durumda $\widehat{DCB}$ açısı kaç derecedir?
$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 20 \qquad\textbf{d)}\ 25 \qquad\textbf{e)}\ 30$
4
$a$ doğal sayısı $4$ ayrı asal sayının çarpımının karesi olsun. $k$ ve $n,$ $a$'nın $k \mid n$ koşulunu sağlayan pozitif bölenleri olmak üzere$,$ $(k,n)$ ikilileri kaç tanedir? ($1$ ve $a$ sayıları da $a$'nın bölenleridir$;$ $k \mid n$ gösterimi "$k,$ $n$'yi böler" anlamındadır.)
$\textbf{a)}\ 3^6 \qquad\textbf{b)}\ 4^5 \qquad\textbf{c)}\ 5^4 \qquad\textbf{d)}\ 4^6 \qquad\textbf{e)}\ 6^4$
5
$\{1,2,3,4,...,20,21,22\}$ kümesinden en az kaç eleman atılmalı ki$,$ geriye kalan sayıların çarpımı bir tam kare olsun?
$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$
6
$x+y+z \leq a$ eşitsizliğini sağlayan her pozitif gerçel $x,y,z$ sayıları için $xyz \leq a$ eşitsizliği de sağlanıyorsa$,$ $a$ gerçel sayısına bir "iyi sayı" diyelim. En büyük "iyi sayının" karesi aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 25 \qquad\textbf{c)}\ 26 \qquad\textbf{d)}\ 27 \qquad\textbf{e)}\ 36$
7
$y \leq z$ olmak üzere$,$ $x^y+x^z=x^{111t}$ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümünün var olduğu biliniyorsa$,$ aşağıdakilerden hangisi sağlanmalıdır?
$\textbf{a)}\ y+z=111t \qquad\textbf{b)}\ 111t=y+1 \qquad\textbf{c)}\ x \geq 111t \qquad\textbf{d)}\ t\ \text{bir tek sayıdır} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
8
Şekildeki küçük çemberin yarıçapı $\sqrt5$, büyük çemberin yarıçapı da $\sqrt{10}$'dur. Küçük çember, büyük çemberin merkezinden geçiyorsa, taralı bölgenin alanı nedir?
$\textbf{a)}\ 2\sqrt5 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5 \pi}{2}-\sqrt{10} \qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 5\pi -10$
9
Şekilde, $3$ satırı ve $20$ sütunu olan bir tablonun bir parçası gösterilmiştir. I. satırda $1$'den $20$'ye kadar, II. satırda $21$'den $40$'a kadar ve III. satırda da $41$'den $60$'a kadar doğal sayılar sırayla yazılmıştır. Şekilde gördüğünüz $x,\ y$ ve $z$ sayılarının üçü de Ayşe'nin yaşına bölünüyorsa, Ayşe'nin yaşı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 10$
10
$p(x)$ ve $q(x),$ başkatsayıları $2003$ olan $2.$ dereceden farklı iki polinomdur.
$p(3)+p(5)+p(10)=q(3)+q(5)+q(10)$
ise $p(x)=q(x)$ eşitliğini sağlayan $x$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 10$
11
$1+3+5+ \cdots +97+99$ ifadesinde en az kaç "+" işareti "-" işareti ile değiştirilmelidir ki$,$ sonuç $700$'e eşit olsun?
$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 10$
12
Kenar uzunlukları$,\ |AB|=3,\ |BC|=4$ ve $|AC|=5$ olan $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $M$ ve $[AC]$ kenarı üzerinde $N$ noktaları alınmıştır. $[MN]$ parçası $ABC$ üçgeninin alanını yarıya bölüyorsa$,\ [MN]$ parçasının uzunluğu en az kaç olabilir?
$\textbf{a)}\ \dfrac{3\sqrt2}{2} \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2$
13
$x>0,\ y>0,\ z>0$ olmak üzere$,\ \dfrac{xz+zy}{x^2+y^2+18z^2}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?
$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt{18}}{27} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{\sqrt3} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{10} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac16$
14
$n+1$ ve $16n+1$ ifadelerinin ikisini de tam kare yapan $n \geq 1$ tam sayılarının sayısı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ \text{3'ten çok ama sonlu çoklukta} \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$
15
$a_1=1$ ve $p$ bir asal sayı olmak üzere$,$ her $n \geq 2$ için $a_n$ dizisi $a_n=a_{n-1}+p^{n-1}$ şeklinde tanımlansın. $a_{2003}-a_{1998}$ sayısının bir tam kare olması için $p$ kaç olmalıdır?
$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 11$
16
$\dfrac{3n+11+13}{11},\dfrac{3n+12+14}{12},\dfrac{3n+13+15}{13}, \cdots ,\dfrac{3n+54+56}{54},\dfrac{3n+55+57}{55}$ kesirlerinin hiçbiri sadeleşmeyecek biçimde alınmış $n$ doğal sayılarının en küçüğünün rakamlar toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 11$
17
$2002^2 \leq n \leq 2003^2$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane $n$ doğal sayısı için $\lbrack\!\lbrack \sqrt n \rbrack\!\rbrack$ sayısı $n$'yi böler?
(Burada$,\ \lbrack\!\lbrack ... \rbrack\!\rbrack$ tamdeğer fonksiyonudur.)
$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ \lbrack\!\lbrack \sqrt{2002} \rbrack\!\rbrack$
18
$ABC$ dik üçgeninin $[AB]$ ve $[BC]$ dik kenarları üzerinde $D$ ve $E$ noktaları$,\ m(\widehat{BAE})=30^{\circ}$ ve $m(\widehat{BDC})=45^{\circ}$ olacak biçimde alınmıştır. $|AE|=\sqrt3$ ve $|CD|=\sqrt2$ ise $[AE]$ ve $[CD]$'nin kesişim noktası ile $[AB]$ parçası arasındaki uzaklığı bulunuz.
$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2(\sqrt3-1)} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{2\sqrt3} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{3\sqrt2} \qquad\textbf{d)}\ \sqrt2-1 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt3-1}{2}$
19
$\dfrac{17x-5}{6}$ ve $\dfrac{14x+5}{9}$ sayılarının ikisi de tam sayı olacak biçimde kaç tane $x$ tam sayısı vardır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$
20
Şekilde$,\ m(\widehat{ABC})=80^{\circ},\ m(\widehat{ACB})=55^{\circ}$ ve $|BC|=3$'tür. $D,\ [AB]$'nin ve $E$ de $[AC]$'nin orta noktaları olmak üzere$,$
$[MD] \perp [AB],\ [MB] \perp [BC],\ [NE] \perp [AC],\ [NC] \perp [BC]$
ise $|MB| \cdot |NC|$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ 4 \sin{(80^{\circ})} \sin{(55^{\circ})} \qquad\textbf{e)}\ 4,5$