2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$x+y+z \leq a$ eşitsizliğini sağlayan her pozitif gerçel $x,y,z$ sayıları için $xyz \leq a$ eşitsizliği de sağlanıyorsa$,$ $a$ gerçel sayısına bir "iyi sayı" diyelim. En büyük "iyi sayının" karesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 24  \qquad\textbf{b)}\ 25  \qquad\textbf{c)}\ 26  \qquad\textbf{d)}\ 27  \qquad\textbf{e)}\ 36$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden $$a\geq x+y+z\implies \frac{a}{3}\geq \frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}$$ $$\implies \frac{a^3}{27}\geq xyz$$ elde edilir. Eğer $a^2>27$ ise $x=y=z=\frac{a}{3}$ seçildiğinde, $x+y+z=a$ fakat $xyz=\frac{a^3}{27}>a$ çelişkisi elde edilecektir. Eğer $a^2\leq 27$ ise $a\geq \frac{a^3}{27}$ olduğundan, yukarıdaki eşitsizlikten, $$x+y+z\leq a\implies xyz\leq \frac{a^3}{27}\leq a$$ olacaktır. Dolayısıyla, $a^2$'nin alabileceği en büyük değer $27$'dir.