2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$ reel sayıları

              $ \left\{ \begin{align*}
x + \dfrac xy + y &= 8 \\
x \cdot \dfrac{x+y}{y} &= 15
\end{align*} \right.$

denklemler sistemini sağlıyorsa$,$ $x+y$ toplamının alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt8  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{15}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$x+y=a$ ve $\frac{x}{y}=b$ dersek, $a+b=8$ ve $ab=15$'dir. Kökleri $a,b$ olan ikinci dereceden denklem $$x^2-8x+15=0$$ şeklindedir. Bunun kökleri $x=3,5$ olduğundan $\min(x+y)=3$ olabilir. Örnek durum olarak, $x+y=3$ ve $x=5y$ için $$3=x+y=6y\implies y=\frac{1}{2}\implies (x,y)=\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)$$ örnek durumu verilebilir.