2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[matematikolimpiyati]

$n+1$ ve $16n+1$ ifadelerinin ikisini de tam kare yapan $n \geq 1$ tam sayılarının sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ \text{3'ten çok ama sonlu çoklukta}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$n=t^2-1$ yazalım. $t\geq 2$ olacaktır. $m\geq 0$ için $$m^2=16(t^2-1)+1=16t^2-15\implies 15=16t^2-m^2=(4t-m)(4t+m)$$ olacaktır. $(4t-m,4t+m)=(1,15),(3,5)$ olabilir. $(4t-m)+(4t+m)=8t$ olduğundan $(3,5)$ ikilisinden çözüm gelmez. $(1,15)$ ikilisi için $t=2$ ve $m=7$ olacaktır. Yani $n=2^2-1=3$ tek çözümdür.