2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{3n+11+13}{11},\dfrac{3n+12+14}{12},\dfrac{3n+13+15}{13}, \cdots ,\dfrac{3n+54+56}{54},\dfrac{3n+55+57}{55}$ kesirlerinin hiçbiri sadeleşmeyecek biçimde alınmış $n$ doğal sayılarının en küçüğünün rakamlar toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 11$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Eğer $\frac{a}{b}$ ifadesi sadeleşmiyorsa $k$ tamsayı olmak üzere $\frac{a}{b}+k=\frac{a+bk}{b}$ ifadesi de sadeleşmez. Eğer verilen kesirlerden $2$ çıkartırsak, $k=11,12,13,\dots,55$ için $\frac{3n+2}{k}$ kesirleri sadeleşmemelidir. $k$ sayılarının asal bölenleri $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53$ şeklindedir. Verilen kesirlerin hiçbiri sadeleşmez ancak ve ancak $3n+2$ sayısı bu asalların hiçbirine bölünmüyorsa. Bu asallara bölünmeyen en küçük sayılar, $59,61,67,\dots,$ şeklinde ilerler. $3n+2$ formatında olan en küçüğü $59$'dur. Bu durumda en küçük $n$ değeri $n=19$ bulunur. Rakamları toplamı $1+9=10$'dur.