2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[matematikolimpiyati]

$y \leq z$ olmak üzere$,$ $x^y+x^z=x^{111t}$ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümünün var olduğu biliniyorsa$,$ aşağıdakilerden hangisi sağlanmalıdır?

$\textbf{a)}\ y+z=111t  \qquad\textbf{b)}\ 111t=y+1  \qquad\textbf{c)}\ x \geq 111t  \qquad\textbf{d)}\ t\ \text{bir tek sayıdır}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Denklemin her tarafını $x^y$'ye bölersek, $$1+x^{z-y}=x^{111t-y}$$ elde edilir. $111t=y$ olamaz, dolayısıyla $111t>y$'dir. Eğer $z\neq y$ ise $x\mid x^{111t-y}$ olduğundan $x\mid x^{z-y}+1$, yani $x\mid 1$ olmalıdır. $x=1$ koyarsak, eşitlik sağlanmaz.

$y=z$ olmalıdır. Bu durumda $$2x^y=x^{111t}\implies 2=x^{111t-y}$$ olduğundan $x=2$ ve $111t=y+1$ olmalıdır. Yani $B$ şıkkı doğrudur. Diğer şıkların sağlanmayabileceği de $(x,y,z,t)=(2,221,221,2)$ çözümüyle görülebilir.