Sorunun başlığından da anlaşılabildiği gibi $\{10,11,12,\dots,99\}$ sayılarından kaç tanesinin $x^5\equiv x\pmod{100}$ denkliğini sağladığını bulmamız gerekiyor. Çin kalan teoreminden $4$ ve $25$ modunda eşitliğin sağlanması yeterlidir. $$x^5\equiv x\pmod{4}\iff x(x-1)(x+1)(x^2+1)\equiv 0\pmod{4}\iff x\equiv 0,1,3\pmod{4}$$ olacaktır. $r\in\{0,1,2,3,4\}$ olmak üzere $x=5k+r$ yazarsak, $(5k+r)^5\equiv r^5\pmod{25}$ olduğundan (binom açılımda diğer katsayılar $25$'in katı çıkıyor), $$x^5\equiv x\pmod{25}\iff 5k\equiv r^5-r\pmod{25}$$ olacaktır. $r=0,1$ ise $k\equiv 0\pmod{5}$, $r=2$ ise $k\equiv 1\pmod{5}$, $r=3$ ise $k\equiv 3\pmod{5}$ ve $r=4$ ise $k\equiv 4\pmod{5}$ bulunur. Bunları birleştirirsek, $$x^5\equiv x\pmod{25}\iff x\equiv 0,1,7,18,24\pmod{25}$$ elde edilir. Bunları birleştirdiğimizde $100$ modunda $3\cdot 5=15$ sayı bulacağız. Bunlardan tek basamaklı olanları elemeliyiz ki bunlar da $0,1,7$'dir (diğerleri otomatik olarak $25$'ten büyük olacaktır). Yani $12$ tane iki basamaklı sayı $x^5\equiv x\pmod{100}$ denkliğini sağlar. $90$ tane iki basamaklı sayı olduğundan eşitlik $\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$'dir.
