Dörtgenin Maksimum&Minimum Alanı

[Bozkurt]

Kenar uzunlukları 3, 4, 5, 6 olan dışbükey bir dörtgenin alanının alabileceği en büyük ve en küçük değerler nelerdir?

[alpercay]

Linki inceleyiniz.
http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/dortgende-max-alan/msg12572/#msg12572

[Bozkurt]

Tesekkurler hocam. Peki, bir dortgenin kenar uzunlugu olarak verilen 4 sayiyla kirisler dortgeni olusturabilmeyi garanti eden sey nedir? Yani kirisler dortgeni olmayan bir dortgen, kenar uzunluklari korunarak her zaman bir kirisler dortgenine donusturulebilir mi?

[alpercay]

Biraz sezgisel takılırsak şöyle açıklanabilir: Biliyorsunuz bir n-genin tek bir biçimde çizilebilmesi için birbirinden bağımsız olmak üzere  2n-3 eleman gereklidir. Dörtgen için bu sayı 5'tir. O zaman 4 kenarı verilen bir dörtgenin bir çok hatta sonsuz çizimi vardır. Yani dörtgeni kenarlarını sabit tutarak şekilden şekle sokabiliriz. Bu tür "serbest" bir dörtgenin karşılıklı iki açısı artarken diğer karşılıklı açıları azalır. Bu değişim sürekli olduğundan karşılıklı açılar toplamının 180 olduğu bir açı değeri mevcuttur. Bu da kirişler dörtgeni olmayı garantiler.

[Eray]

Çokgen Eşitsizliği: Bir çokgende en uzun kenarın uzunluğu, diğer tüm kenarların uzunlukları toplamından küçük olmalıdır. Bu şarta uyan çokgen çizilebilir.

Öncelikle, kenar uzunlukları Çokgen Eşitsizliği'ne uyan her dörtgenin çembersel hale getirilebileceğinden bahsedelim.
Bir dörtgenin çembersel olması için gerek ve yeter şart, karşılıklı iki açısının toplamının $180^\circ$ olmasıdır.
$a$ ve $b$ kenarları arasındaki açı $\alpha$ olsun. Dörtgen çembersel olsaydı $c$ ve $d$ kenarları arasındaki açı $180^\circ-\alpha$ olurdu.
$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$ olduğundan, Kosinüs Teoremi gereği $a^2+b^2-2ab\cos\alpha=c^2+d^2+2cd\cos\alpha \Longrightarrow \cos\alpha=\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd}$'dir. Yani dörtgenimizde $a$ ve $b$ kenarları arasındaki açı $\arccos\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd}$ olarak seçilirse, dörtgen çembersel olur. Acaba böyle bir açı var mıdır? $\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd}$ ifadesi $-1$ ile $1$ arasındaysa elbette vardır.

$1 \geq \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd} \geq -1$

$\Longleftrightarrow 2ab+2cd \geq a^2+b^2-c^2-d^2 \geq -2ab-2cd$

Sol kısım: $2ab+2cd \geq a^2+b^2-c^2-d^2 \Longleftrightarrow (c+d)^2 \geq (a-b)^2 \Longleftrightarrow c+d \geq |a-b|$ eşitsizliği çokgen eşitsizliği gereği doğrudur.

Sağ kısım: $a^2+b^2-c^2-d^2 \geq -2ab-2cd \Longleftrightarrow (a+b)^2 \geq (c-d)^2 \Longleftrightarrow a+b \geq |c-d|$ eşitsizliği çokgen eşitsizliği gereği doğrudur.

Yani $1 \geq \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd} \geq -1$ olduğundan, $\arccos\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd}$ açısı vardır. İspat biter.

Benzer bir soru için http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/cevresi-sabit-dortgende-max-kosegenler-carpimi linkini inceleyebilirsiniz.

[Bozkurt]

Her ikinize de tesekkurler