Dörtgenin kenarlarına ardışık olarak $a,b,c,d$; köşegenlerine $e,f$ diyelim.
Batlamyus (Ptolemy) Eşitsizliği: $ac+bd\ge ef$'dir ve eşitlik durumu dörtgen çembersel iken sağlanır. (Bir diğer eşitlik durumu dört noktanın doğrusal olmasıdır)
Çokgen Eşitsizliği: Bir çokgende en uzun kenarın uzunluğu, diğer tüm kenarların uzunlukları toplamından küçük olmalıdır. Bu şarta uyan çokgen çizilebilir.
Öncelikle, kenar uzunlukları Çokgen Eşitsizliği'ne uyan her dörtgenin çembersel hale getirilebileceğinden bahsedelim.
Bir dörtgenin çembersel olması için gerek ve yeter şart, karşılıklı iki açısının toplamının $180^\circ$ olmasıdır.
$a$ ve $b$ kenarları arasındaki açı $\alpha$ olsun. Dörtgen çembersel olsaydı $c$ ve $d$ kenarları arasındaki açı $180^\circ-\alpha$ olurdu.
$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$ olduğundan, Kosinüs Teoremi gereği $a^2+b^2-2ab\cos\alpha=c^2+d^2+2cd\cos\alpha \Longrightarrow \cos\alpha=\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd}$'dir. Yani dörtgenimizde $a$ ve $b$ kenarları arasındaki açı $\arccos\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd}$ olarak seçilirse, dörtgen çembersel olur. Acaba böyle bir açı var mıdır? $\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd}$ ifadesi $-1$ ile $1$ arasındaysa elbette vardır.
$1 \geq \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd} \geq -1$
$\Longleftrightarrow 2ab+2cd \geq a^2+b^2-c^2-d^2 \geq -2ab-2cd$
Sol kısım: $2ab+2cd \geq a^2+b^2-c^2-d^2 \Longleftrightarrow (c+d)^2 \geq (a-b)^2 \Longleftrightarrow c+d \geq |a-b|$ eşitsizliği çokgen eşitsizliği gereği doğrudur.
Sağ kısım: $a^2+b^2-c^2-d^2 \geq -2ab-2cd \Longleftrightarrow (a+b)^2 \geq (c-d)^2 \Longleftrightarrow a+b \geq |c-d|$ eşitsizliği çokgen eşitsizliği gereği doğrudur.
Yani $1 \geq \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd} \geq -1$ olduğundan, $\arccos\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd}$ açısı vardır. İspat biter.
Şimdi sorumuza dönelim.
Dörtgenin kenarlarının belirli olduğunu düşünelim. Dörtgen çembersel hale getirilirse köşegenler çarpımı en büyük değeri olan $ac+bd$ değerini alır. Yani $a+b+c+d=27$ ve $a,b\in \mathbf N^+$ olmak üzere $ac+bd$'nin en büyük değerini bulmalıyız.
$a,c$ ve $b,d$ çarpım durumunda olduklarından mümkün olan en büyük ve birbirine çok yakın iki sayıyı çarpmalıyız. $b=1, d=1, a=13, c=12$ alınırsa mümkün olan en büyük $ac+bd$ toplamı oluşturulmuş olur. Ayrıca bu uzunluklar Çokgen Eşitsizliği'ne de uyduğundan, dörtgen çizilebilir.
Yani, köşegenler çarpımının en büyük değerini alması için dörtgenin kenar uzunlukları ardışık olarak $13,1,12,1$ olmalıdır. $13$ ve $1$ uzunluklu kenarların arasındaki açının Kosinüs'ü $\dfrac{13^2+1^2-12^2-1^2}{2\cdot13\cdot1+2\cdot12\cdot1}=\dfrac{1}{2}$ olduğunda dörtgen çembersel olur ve köşegenler çarpımı en büyük değerini alır.
Dörtgenin alanını bulalım.
Brahmagupta Alan Formulü: Çembersel bir dörtgende kenar uzunlukları $a,b,c,d$ ve $u=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ olsun. Dörtgenin alanı $=\sqrt{(u-a)(u-b)(u-c)(u-d)}$'dir.
Bizim dörtgenimizin çevresi $27$ olduğundan $u=\dfrac{27}{2}$'dir. O halde alanı ise $\sqrt{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{25}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{25}{2}}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}$'tür.
