Dörtgenin kenarları ve karşılıklı iki açısının toplamı biliniyorken
Bretschneider Formülü yardımıyla alan
$$S^2=(u-a)(u-b)(u-c)(u-d)-abcd \cdot \cos^{2} ( \dfrac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2})$$
şeklinde verilir. ispatı için
http://en.wikipedia.org/wiki/Bretschneider%27s_formula linki incelenebilir. Burada $u=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ dörtgenin yarıçevresidir. Bretschneider formülü kirişler dörtgenine tatbik edilirse $\dfrac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2} = 90^o$ olduğundan $S^2 \leq (u-a)(u-b)(u-c)(u-d)$ eşitsizliğine ulaşılır. Yani dört kenar uzunluğu verilen bir dörtgenin alanının en büyük değerine ulaşması için bu dörtgenin bir kirişler dörtgeni olması gerekir. Bu durumda kirişler dörtgeninin alanı $S^2 = (u-a)(u-b)(u-c)(u-d)$ eşitliğiyle verilen
Brahmagupta formülüne indirgenir.
Şimdi probleme dönersek $ABCD$ dörtgeni, kirişler dörtgeni özelliğini haizdir. Bu haliyle problem
http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/max-alan-2003-lise-1-asama-sorusu-benzeri/msg12570/?topicseen#msg12570 linkinde çözülmüştür.
Konu İle Az-Çok İlgili Birkaç Not:* $u$ gösterimi yerine İngilizce kitaplarda $s$ gösterimi tercih edilmektedir. Yarıçevre anlamına gelen
semiperimeter kelimesinin baş harfidir. Peki $u$ gösterimi nereden geliyor? Almanca'da çevre anlamına gelen
Umfang kelimesinin baş harfidir. Almanlar $u$ kullandığı için bizde de $u$ kullanılmaya başlanmış. Sonra böyle alışmışız ...
** Heron formülünün ispatı ile ilgili basit bir yaklaşım şöyledir. Kirişler dörtgeninde $d=0$ durumunda şekil bir üçgene dönüşür. Elbette her üçgenin köşelerinden bir çember (çevrel çember) geçtiği için Brahmagupta formülü $S^2=u(u-a)(u-b)(u-c)$ biçimine indirgenir.
