Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ ve yarıçapı $r$ olsun. $I$'dan geçen bir doğru $ABC$'nin çevrel çemberini $F$ ve $G,$ iç teğet çemberini ise $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. ($D,\ I$ ve $F$'nin arasında)  $DF \cdot EG \geq r^2$ olduğunu kanıtlayınız. Eşitliğin ne zaman sağlanacağını belirleyiniz.

Bir $ABCD$ dört yüzlüsünün $AB,BC,CA,DA,DB,DC$ kenarları üzerinde sırasıyla alınan $E,F,G,H,K,L$ noktaları$;$

                    $AE \cdot BE = BF \cdot CF = CG \cdot AG = DH \cdot AH = DK \cdot BK = DL \cdot CL$

eşitliklerini sağlıyor. $E,F,G,H,K,L$ noktalarının aynı küre üzerinde olduğunu ispatlayınız.

$a,b,c$  reel sayıları için $ab \neq 0$  ve $c>0$ olmak üzere$;$

$a_1=a,\ a_2=b$  ve her $n \geq 2$  için $a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+c}{a_{n-1}}$  şeklinde bir $a_n$ dizisi tanımlanıyor.

İspatlayınız ki bu dizinin tüm terimlerinin tam sayı olması için gerek ve yeter koşul $a,b$ ve $\dfrac{a^2+b^2+c}{ab}$ sayılarının tam sayı olmasıdır.

Düzlemde$,\ TAB,\ TBC,\ TCA$  üçgenlerinin hem alanları hem de çevreleri eşit olacak şekilde $ABC$ üçgeni ve $T$ noktası veriliyor.

      $(i)$ $T$ noktası$,\ ABC$ üçgeninin içindeyse $ABC$ üçgeninin eşkenar üçgen olduğunu$,$

     $(ii)$ $T$ noktası$,\ ABC$ üçgeninin dışındaysa $ABC$ üçgeninin dik üçgen olduğunu

gösteriniz.