$a,b,c$ bir üçgenin kenarları olmak üzere; $$ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c) \leq 3abc$$ olduğunu kanıtlayınız.

Kenarları $a,b,c$ olan bir $ABC$ üçgeninin içteğet çemberi çiziliyor. Bu çembere teğet ve kenarlara paralel olan doğrular $\triangle ABC$'den birer üçgen kesiyor. Bu üçgenlerin içteğet çemberleri çiziliyor. Bu dört içteğet çemberin alanları toplamını $a,b,c$ cinsinden bulunuz.

On yedi kişi aralarında, herkes bir diğerine yazacak şekilde mektuplaşıyorlar. Mektuplarda sadece üç konu üzerine, her çift sadece bir konu üzerine olacak şekilde yazışıyorlar. Birbirlerine aynı konu üzerine yazmış üç kişinin bulunabileceğini gösteriniz.

Düzlemde beş nokta, bu noktaların belirttiği doğrulardan herhangi ikisi birbirine paralel, dik veya çakışık olmayacak şekilde seçiliyor. Her noktadan, diğer dört noktanın belirttiği doğrulara dikler çiziliyor. Bu dikmelerin en fazla kaç noktada kesiştiğini belirleyiniz?

$ABCD$ dörtyüzlüsünde, $D$ köşesi $\triangle ABC$'nin ağırlık merkezi olan $D_0$ ile birleştiriliyor. $A,B,C$ noktalarından $DD_0$'a paraleller çiziliyor. Bu doğrular, $BCD, CAD, ABD$ düzlemlerini sırasıyla $A_1, B_1, C_1$ noktalarında kesiyor. $ABCD$'nin hacminin $A_1B_1C_1D_0$'nın hacminin üçte biri olduğunu kanıtlayınız. $D_0$, $\triangle ABC$ içerisinde herhangi bir nokta olsa, aynı oran sağlanır mı?