Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1964 Soru 2

[geo]

$a,b,c$ bir üçgenin kenarları olmak üzere; $$ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c) \leq 3abc$$ olduğunu kanıtlayınız.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$c\le b\le a$ olsun. Üçgenin kenarları olduğundan iki kenar toplamı üçüncüden büyüktür.O zaman şunları yazabiliriz.
$\Longrightarrow c(a+b-c)-a(b+c-a)=(a-c)(a-b+c)\gt 0$
$\Longrightarrow c(a+b-c)-b(a+c-b)=(c-b)(a-b-c)\gt 0$
$\Longrightarrow b(a+c-b)-a(b+c-a)=(a-c)(a+b-c)\gt 0$

O zaman $c(a+b-c)\gt b(c+a-b)\gt a(b+c-a)$ olur. Soruda sol taraftaki kısma $T$ diyelim. Yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanalım.
$T\ge ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)$
$T\ge ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)$

Taraf tarafa toplarsak $2T\le 6abc$ yani $T\le 3abc$ ispatlanır.